数学基礎特論 2015年5月12日(火) ：ベクトル空間に対して、次の4つの条件を満足する実数を内積という。 1. 2. 3. 4. ( は実数。) 等号成立はの時に限る。内積が定義されたベクトル空間を内積空間と呼ぶ。：ベクトル空間がとを満足するときは互いに直交するといいと書く。内積空間内積から導かれるノルム内積から導かれるノルムについて完備であれば、内積空間をヒルベルト空間という。内積空間に対して内積内積から導かれるノルムノルム空間として導入されたノルムと一致する。：次元の有限次元ヒルベルト空間の正規直交基底互いに直交し、このとき、任意のはと一通り表すことが出来る。この表現をベクトルの正規直交展開という。今日の話題：ヒルベルト空間の正規直交基底互いに直交し、このとき、任意のはと一通り表すことが出来る。ということが成り立つのか？ヒルベルト空間の要素からなるベクトル列の要素からなるベクトル列の和（級数)の収束 (1) (定義) 部分和この部分和がある要素に収束するとき、(1)式は収束するといい、と書く。ヒルベルト空間の要素からなるベクトル列このベクトル列に対してが成り立つとき、ベクトル列の直交系という。さらに、をさらに、を満足するとき、ベクトル列の正規直交系という。をヒルベルト空間の直交系直交級数の収束条件 (2) の直交系から成る級数が収束する必要十分条件は (3) が収束することである。ヒルベルト空間の正規直交系実数列正規直交系級数 (4) 直交級数の収束条件より、(4)式が収束する必要十分条件はが収束することである。ヒルベルト空間の正規直交系が収束するとするときので、とする。このとき、かつが成り立つ。が収束するの正規直交系が収束するが収束するとする。かつの正規直交系が与えられる。とする。問題1 が収束するのか？問題2 が収束する場合、収束先が与えられた問題3 と一致するか。が収束する場合、が成り立つか？の正規直交系が与えられる。問題1の答えとする。は収束する。の正規直交系が与えられる。とする。問題2の答えが収束するが、収束先は与えられたと一般的には一致しない。（与えられたと一致するには条件が必要。）の正規直交系が与えられる。問題3 とする。は成立しない。一般には、ベッセルの不等式が成立する。（等号成立には条件が必要）の正規直交系が与えられる。とする。問題1 が収束する問題2 が収束する場合、収束先は与えられた問題3 と一般的には一致しない。は成立しない。が成立する。の正規直交系が与えられる。とする。が収束し、が成り立つとき、正規直交系を完全正規直交系といい、完全正規直交系をの正規直交基底ともいう。の完全正規直交系完全正規直交系に対しては、が成り立つ。(パーセバルの等式）の正規直交系が完全正規直交系であるための必要十分条件すべてのの要素は零ベクトルに直交するのみであること。ヒルベルト空間の完全正規直交系任意のに対しての形に一通りに表せる。上式をヒルベルト空間正規直交展開という。におけるのを展開係数という。そもそもヒルベルト空間においての加算個の完全正規直交系は無条件に存在するのか？ヒルベルト空間においての加算個の完全正規直交系が存在するための必要十分条件はそのヒルベルト空間すなわち、が可分であることである。が加算個の要素を持つ稠密な部分空間を含むことである。工学的には成立することが前提ヒルベルト空間 ( のとき ) 区間おいて定義された関数で重み付き2乗可積分な関数全体からなるベクトル空間区間で正の値をとる関数に対して (5) 内積に導かれるノルムヒルベルト空間の完全正規直交系が存在し、任意のに対しての形に一通りに表せる。すなわち、正規直交展開が可能である。ヒルベルト空間ヒルベルト空間はの完全正規直交系をなす。ヒルベルト空間任意のに対しての形に一通りに表せる。すなわち、正規直交展開が可能である。ヒルベルト空間とするとヒルベルト空間任意のに対してが成り立つ。フーリエ級数展開フーリエ級数展開における正規直交展開。フーリエ級数展開の展開係数は係数をそろえて以下のように表す方が一般的である。任意のに対してが成り立つ。フーリエ級数展開フーリエ級数展開の展開係数は係数をそろえて以下のように表す方が一般的である。任意のに対してが成り立つ。フーリエ級数展開