Title Author(s) Citation Issue Date Type Raoの汎逆行列について 磯野, 修 一橋論叢, 65(3): 387-393 1971-03-01 Departmental Bulletin Paper Text Version publisher URL http://hdl.handle.net/10086/2277 Right Hitotsubashi University Repository 《研 究 ノ ト》 ー R a o 汎逆行 列 に の つ い て 磯 本稿 ほ R 汎逆行列 に の a o した が と を目 的 と す る . R , C , に a o R . R . 自 身 の 説 明不 足 と 思 わ れ る 点 を補 う こ a o あ わせ て 修 話題 を 実 数 を 元 と す る 行 列 お よ び , ベ ト ル に 限定す る ク . 実数 を元 とす る 普 A , に 次元列 m つ い て の ベ タ 〔補 助定 理 c - 可解 ･ 位行列 こ の 〔2 〕 p A が て っ い て つ 野 , の x R a o きの 命題 の 24 ま た は 〔3 〕 p . お よび r a n A- k が 示さ れ る の 元 はす ぺ 証明 を示す A の ￣ mi - n ( て 0 , とほ つ い て A - - をみ た すよ うな と書 く を x . を見て い , べ 1 て い k A ≦ra 対角元 が 1 の と な る もの を て 0 タ に 対 し て A A- d ト/ レ , を C ある , ￣ A) z l j - ただ し . Z , は 次単 n い の で 省略 する 参考文献 . n k J -≦m l in ( m n , ) は明 か で ある 附加 条 件 を も み た す よ う な A- の 存 在 ト規 準 形 ( , 次元 列 . ミ ー A - 必要で ほ な 同時 ル また は 0 r a n m . に他 の , エ j ただきた 般に 一 次正 方 n す■ る / レと x ベ . l￣c 十( I て っ n 実行列 G n い n 次正方行列 で , 対角線 か ら 左 下 列 は対角元以外 はす ぺ う) を H n と書 く と , 次 て の 0 , ￣対 角 命題 が 成 . 〔補 助 定 理 以下 こ , を使 をみ た し 元が 0 の 行 は対角元以外も す 立す る い A 本稿 に と っ 5 対 角元は , [ ク , 26 ) n , す な わち . . べ - A ある , こ 階数に m A GA , 次 の 命題 が 成立 す る , 次元列 n 対 して に が 可解 で あ る た め の 必 要 十 分条 件 は 般解 は の A 汎 逆行 列 と い の c - 一 は任意 行列 n とする と き 血 1〕 と z , 7 /レ . m の 2〕 任意 の A￣ を A (i) r a n ( ii ) ( ) a k A 肌 ￣ ( ) - - ≦n m m n X 行列 A に 対 して , 次 の 条件 をみ た す A- が 存 在する . と 書く . i n( m ) n , ならば , A￣A - H n 387 ( 1 1 8) (b ) > n よう な ( m ( 証 明) m ( a) ならば ) n - ≦n r 7L 証明 の ま まで あ る が が で きる C . 2 n ほ じめの の H - D つ n , , れ を記 す こ , C- 1 H - n 2 C - n J I (三 ) を件 る - H B - n る ら A G A A - う い k G ra n さらに ･ 卜) A (b ) - - 洩りを , の > m C B 場合 に の の 方法が 同 じで あ に 対 して m X ( て m っ も ) n - A GA - A こ . こ R GA - 結果 , い , H - n CB - B OB - , , C (a - H B D) (言 ) れが こ ･ して ( n p - m H - m と する ま で は ( a) ･ (Z Z) - に つ い OB B , は行列 D て C . B - した が ･ とす る と き n と は明 らか こ こ の 証明で は をみ た す (言 ) - A ￣ H - が 正則 で あ A (- ) , 間 で も 1 次独 立 な G は 補 助定 理 に B ( A 0) - は じめ の CB B , = H , は じめ の D A および n の ,n 0 - n 行 ( b) , 存在 を証明 した の n 個の列 m - ( a) . 場 合 に は 条 件 ( ii) の (芸 ) 0) ま た は (A か ら 行 なう こ と に他 な ら な い こ の 点に 〔定 理 ( a) β8 ∂ m 注意すれ ば 1〕 ≦n m x か 列 n 条件 が 出 る の 2 証明 . を件 る A H - . ら成 る (芸 ) - . 行 か ら成 る n ( A G A 0) し か し今 度 は C B . , 湯合 に は の ベ 逆 に 補助定理 2 . J , -) l( の n か ら (芸 ) が , 次 正 方行 n C が正 則 で あ ト ル か ら成 る 行列 を D ク n なら ば , に か D 規定 され た け る こ とは を使 条 件 ( i) (ii) の と して 相互の , C を作 C を左 - ' ( :) て 条件 を みた す ( ) D (A ) , の C - を作 れ ば , れ らの 行列 の 掃 き出 しと行 の 入れ か えを こ , っ ( ) 部分 G が A - 一 . 上 の 補 助定 理 行列 A A (￣A ) , に の 列ベ ク ト ル と 1 次独立 で A り ･ . の n - 掃 き 出 し と 行 の 入 れ か え を 示 す正 則 行 列 C , が 存在す る と仮定す る ( ) 他方 . 等し- から に と こ ( 証 明 終) . と から こ の あら われ る 点 が 違 う に C . k G r a n 場 合 と全 く 同 じ で よ い の GA , × n とす る n C . て っ 次正 方行列 m , おい て に - 明示 的 が ( A 0) を得 る - (≡ ) となるた め - A 列を H る H - の ) A 0) A 268 . は ( a) の 場 合 と 同 じ と 詳細 を略 し て い る a o 形 の 零 行列 を つ け 加 え て の 洩りを D , は ) ある で 初等変換 の 積 を示す正 則行 . A - D 0 - . , 上 と同 じよう に して C B 行列 を G (a , い て つ D) ら か n 条件 を みた す n (a - H - に対 A ･ とす ると (三 ) (三 ) ( 冨) (芸 ) B OB ･ D A つ ま た は 〔3 〕 25 . あるから で D A か 且 , . 掃 き出 し と行 の 入 れ か え を 行 な の B H が 正 月T] , 参 考 文 献 〔2 〕 p , 次 正 方 行列 B n , B 列 か ら成 る行列 を G m は て (3) て っ 存在す る が い 第3 号 1 あ で n あと で 必要 と な るた め , を左か らか けて H 場合 に の H - 行列 × m 形 の 零行 列 を つ け 加 え て 列 C A- A , 第 65 巷 橋論叢 一 対 して に の か ら 直ちに 次 の 定理 が 出 る 2 A x 第 i 行 (i - - が 可解 で あ る た め の 必 要 十 分 条件 は c 1 . , 2 . , - ･ ･ ･ , ) n の 元が す べ て 0 の とき , , )c A (一 研 究 第 の ( b) る n な らば とで あ る こ の 零行列 ( b) n ) m - よ > m て っ ( :) る て い 定理 - と に 注意 こ 1 の 便で ある は n 血 H - m x - , ならば ≦ ･b ) n ( ) x n H , ≦n -)A A - , D て っ c 0 - ク ト 成立す が は - m D および c 0 - べ こ . ￣) c ( H - - ( )A x H - ) m - n x -) c た っ ( A - × . た だ し左辺 第 1 因 子 の 0 は A I タ ト ル ⇔ ( A 0) c m . ) (:) (≡ ･ D jl こ で 0 - と い う条 件 を 使 可解 条 件 よ り も 便 利 で あ る が 1 の っ H 2 の 後 述の 定理 , 形が さ ら に簡 ･ A 対 して に ￣ '- ' c n 可 解 か ど う か を確 , 補助定理 1 を次 の よ う に 変形す る , ￣ A - ( ) c A x c - 可解 条 件 は の , ･ - A ( 言) ( L:) - 場合 の n A ただ し ･ ￣) c A ( ) を使 - A (-, ‰ D ･ は補助定理 2 に 定義 ( て っ よ い とは 明らか こ あ と は定理 1 の ･ . ( (S);:: (:) ?3 ?:≡ (g) ?: 芸 E3: -' ⇔ c - ) D, 作 っ た ( A (￣ て っ A と して - -)c A A . - ( ) c A - ( ,c - , ( (A - A A - ( :) ( H D 3 2 ' A , . A - AA - の n - 次の 零 n - - ⇔ A 0) は (n か ら上 の よう に し て 作 ( ) ⇔ A . (;) (:) ⇔ (A 0 ル た だ し 左辺 の 0 - ( A (￣) 刀) - c - ( )c ( )c A n 1 の る注意書 きに した が ･b ) x A - 行列 証 明 と ほ と ん ど 同 じで あ る m よ に . 補 助 定理 ( 証 明) ( A Ⅹ Ⅹ , さ れた 行列 とする A ) 補 助 定理 , n な らば m ⇔ ) (芸 . (三 ) (≡ ) ⇔ c - 可解の 湯 合の 特殊解 を求 め るた め に は , n a D 2 の ( 証 明終) . 〔補 助定 理 3 〕 ( a) x そ の た め の 準備 と して . 補 助定理 , 次の 看 べ m - D A . 第 2 因子 の , 可解 条 件 ほ か め る と 同時 に 場合 ( ) (A- , ( ) ⇔ A c 0 零 行列 の の 場合 も 同じ の n ' A ( 1 1 9) ･ . 上の 条件 に 加 え て , ≦n m 右辺 の , に とで ある こ t ー . ( a) ( A (-) D ) ×( となる > m ( 証 明) n 0 元が i ノ ' ( :) AA ⇔ c - -,c ( A ' c - 卜' c A n ⇔ ) (芸) c - . ( 証 明 終) 〔定 理 2 〕 助定 理 2 ( a) H の m x m ≦n n , 行列 A n H n ならば 可解 の 湯 合 の 特 殊 解 A , -) ( A , に対 D , に - ( ) c b - して よ っ A て x , - c が 可解で あ る た めの 必要十分条 件 は 次 の よう に あら わ さ れ る とす る と き , 可 解条 件 は H n b A - ( ) c - , n . A - ( ) A b - b で b , は . (芸) A c ･b ) - 捕 , な らば ･ は 可 解 の と き の 特殊 解 - b とする と き ･ 可解 - は - ` Ab ( L) - - b で , . 3 89 ｢ ( 1 2 0) ( 証 明) とは こ 解 に . n b 1 あ るが せ ば , - い て 定理 に > 場合 の n H つ 場合 の 可解 条 件 A A - , m H , ≦n m ( )c (b ) ら ( a) b 成立 に よ る 補助定理 2 の 証明で - ( i) ほ 上 の ( a) お よぴ , Ab ( ち) 後述の 第 に の 3 つ - A - と同 u b となり R い て の - O A E ( Li ) ( Z) - m の a o 説明は 参 考 文 献 〔2 〕 p , . 26 c の 2 場 合 ほ 可解 で ほ な い 1 例 m に n - も か か わ らず ∫ 0 ㊤ 3 1 1 0 0 0 1 1 1 2 0 1 0 0 1 3 4 3 0 0 1 0 0 0 5 1 0 0 0 1 0 1 1 5 ① 0 1 0 0 0 1 1 5 - 0 5 1 5 0 5 1 5 5 1 . - . . 0 5 . 0 5 . 5 0 0 5 0 0 0 5 0 5 5 0 1 0 0 5 0 0 1 1 0 0 0 0 5 0 5 0 0 0 5 0 1 0 0 0 1 1 . 0 5 . ∃0 5 . 5 5 O 三 i ; 0 1 0 0 2 1 0 0 1 6 0 0 0 0 0 0 1 0 2 1 0 5 . . 1 - . 0 2 0 2 0 1 0 6 0 6 1 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 1 0 6 0 6 0 3 0 2 0 2 0 2 1 . . . - 1 6 ー 1 0 0 2 0 5 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 1 0 0 0 行列 H n . - 1 - 1 行 列 A (I) . - . . . . 0 5 . . 0 . 1 1 1 . 5 . - 0 . 1 . . . . . . b . . . 0 0 0 1 0 . - . 1 . . . 0 - 0 . . 0 - 0 3 . 1 . 0 5 - . . 5 0 0 0 1 C2 1 1 - . Cl 0 . ≡… ! f r 一 る っ たか 特殊 . . - ‡- b l bi - (i - 1 1 2 ( ) c i A , 2) . 実例 2 69 で 示 表 現 に した が の a o 0 5 . - R , る い 4 - 単 位行列 . あ ま た は 〔3 〕 p 場合 の 条件が ( a) と ほ違 っ た形 に な る点 を見落 して 例で で o 可 解 条 件 は 補 助 定 理 3 と 同 じ形 に な , 行列 A 0 n - o ( 証 明終) . 第 39 0 H , が特殊 解 で あ る . ' 'c n b . の . 第3 号 可解 条 件 は 補 助 定 理 3 と 全 く 同 じ ･ c - ⇔ 2 第 65 巻 橋論叢 一 5 研 究 う と可解 に な n 最 後 に 定理 2 定 数項 ベ - で 4 , て し まう に よ る 計 算 の 実例 を 示 す 第 1 例 は 参 考 文 献 〔1〕 ･ タ ト ′レ て も っ , たもの で つ い に e cl それ ぞ れ , ( 12 1) ト ー ･ c て は可解の 場合 l で ある 囲ん だ の は掃 き出 しの 軸 と な る元 して 作 い っ ノ は可解の 湯合 c , m 2 3 - ･ n 4 - ある で 第2 例 m 例は の 4 - 場合で ある い は 可解 で な 2 第3 ･ および は可解で な また は ベ ク ト ル の 分割 位 置 を 示 す も の 2 第 ･ c ･ , n 3 - なh ･ , 例 を示す - 3 , n - 単位行列 (;) J ⑧ 3 1 1 0 0 0 1 1 1 2 o 1 0 0 1 3 4 3 o O 1 0 o 0 0 0 o 0 O 1 o 1 1 5 0 5 0 0 0 _ @ 1 o 0 - O 5 1 - 0 5 . 0 1 5 ･ 1 5 o 1 1 0 o 0 0 0 o 0 0 0 1 0 . . 5 0 5 . 0 . 1 . 1 1 5 . o 0 0 o 0 0 0 . _ 0 . . 1 _ 0 5 い ･ 0 ずれ に ･ つ 行 ㍍ ) 1 l__ ㌔ 0 5 0 5 0 0 5 0 0 0 5 . . . . 5 0 _ . 0 O 1 0 0 0 0 5 0 5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 O 1 0 1 0 0 5 0 5 0 0 0 5 0 1 0 0 0 1 - 1 0 行列 ( A 卜) 0 . . a . 1 . 5 0 l- b l i (i . 1 - b b 5 0 , ) . - . D 5 . 0 - o 5 1 0 . o 0 n 5 0 1 o 5 _ 1 . . 5 o _ . 0 5 行列 H . _ 5 1 5 1 5 o o 5 0 1 5 - - o o 0 . . o - o 5 ･ 4 o . あ る 表の なか の 点 線 は c (言 ) で - 第 1 例 の 数値 を も と に , の ･ 場合 い m ･ ･ m 行列 . あ る 数値 例 で に - - 1 2 ( ) ci A , 2) 391 (1 2 2 ) 第 65 巷 橋 論叢 一 第3 例 行列 ( A 0) m 第3 号 4 - , n 3 - 単 位行 列 】 ∫ el ㊥ 3 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 3 4 0 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 0 1 0 1 5 0 ① 0 1 0 0 1 0 0 1 . 5 0 0 5 0 5 0 0 - - . . 0 5 0 0 0 0 0 - 0 0 @ 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 - . . 0 0 - 0 0 0 1 0 0 E 行列 H 0 5 0 0 1 1 1 0 0 0 0 5 0 5 1 0 0 0 5 0 1 0 0 0 1 1 5 0 . 5 5 0 0 1 0 1 . 0 . a o C , A p p li c a ti ti stl 6al R 〔2 〕 W il e y 〔3 〕 ti 39 B , R o n s S a o i n t o n o oi et , C N e w a o, R ･ C ･ P o y ･ Y R A(at h ble ro S e r ie I R ･ m . p p ( 1 9 6 6) e m a ti c a l N i s B s A 24 . " G - a pp , 0 1 0 6 0 0 3 0 2 0 2 . . . 0 2 1 0 . . . 6 . . 1 - ' b t? :( :-…) A b e n e r a li z e d a t i c al 1 . i - 1 i 2) , 献 G S t a ti s ti 5 2 - 15 8 S t a t i sti ea r 26 文 o n a th e m 24 ･ Lin 考 ot e M n V Ol I (1 9 6 5) o rk ･ " ( 1 96 2 ) ･ 1 0 2 (:) 参 R . (i 〔1 〕 . 0 行列 o . . 0 2 0 A ( Z) n - n 1 1 0 6 0 5 5 0 2 0 1 , - 0 6 . . . 0 2 . 1 0 0 0 1 0 - 1 . - 0 3 0 2 0 5 0 . . - . 5 . 0 5 . . 1 . - 1 - 0 5 . 0 - 0 5 0 1 - 0 ー0 0 0 0 . 0 0 1 . 1 0 0 0 5 0 0 0 1 5 . - 0 1 0 1 0 1 0 5 0 0 - 0 0 0 0 0 5 1 0 1 . 0 5 0 1 0 . - e 0 5 . - l c al l of a r n al o n v e rs e ” cs . Tou L M a t ri x i th w f R o y al S t a - . Inf e re n ce a nd It A p p li c a ti o n s s . . e n e r a li z e d S t a ti sti c s ” ･ l R n v e rs e ese a r ch fo P r M ap e rs a t ri c e s in a n d S t a ti s ti c s it s , F A p p li ca e st s o h ri - ft ノ 研 究 f or I . N ey m a n 附記 . e d it e d , 本稿 は 部 を 削り 一 , b y F 1966 ･ N I D a vid 年 9 月 27 日 部 を加筆 した も の で ･ ( 1 2 3) ト ー W il e y , N Y e w o rk ･ pp 1 263 - 279 本学 の 応用数学研究会で 報告 した も の あ る ･ ( 19 7 0 ･ 11 ･ 30 ･ ･ の ￣ ) ( 一 橋 大 学 教 授) 3 93
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