物理学AI 第６講 前回の講義ファイル http://www.ms.osakafu-u.ac.jp/ spweb/PhysicsAI05.pdf 自習用テキスト http://www.ms.osakafu-u.ac.jp/ spweb/physmath*.pdf *:4 5 物理学AI 第６講 レポート解説 レポート提出者：７９名 レポート２全問正解者：３９名 ひどすぎ・・・ 物理学AI 第６講 解の性質 線形同次微分方程式 n i d x ∑ ai i = 0 i =0 dt x1(t)…xm(t) (m ≤ n)を特解とすると m ∑ Aj xj j =1 も解。特に m=n の場合は一般解。 重ね合わせの法則 物理学AI 第６講 解法（特性方程式） ２階定数係数同次線形微分方程式 2 dx dx +b + cx = 0 2 dt dt x(t) = λt e 2 λ と仮定して代入 + bλ + c = 0 特性方程式 物理学AI 第６講 解法（特性方程式） 特性方程式の解をλ1、λ2とすると x(t) = λ t λ t 1 2 C1 e + C2 e が一般解。 物理学AI 第６講 レポート1解説 月の見かけの姿は、 なぜ光を当てた球とは違うのか？ 出た出た月が まるいまるい まん丸い 盆のような月が 物理学AI 第６講 レポート1解説 地球照 物理学AI 第６講 レポート1解説 地球照 物理学AI 第６講 レポート1解説 入射光の平行性 Photo by NASA 物理学AI 第６講 レポート1解説 乱反射（レゴリス） 月面はレゴリスと呼ばれる砂で覆われている 地球の砂：直径200∼300μm 月の砂：直径数10∼100μm レゴリスで太陽光が乱反射される http://kaminagaya.net/blog/archives/000554.html 物理学AI 第６講 第５講 運動の記述 ∼微分方程式∼ 解法 物理学AI 第６講 微分方程式 微分方程式： 未知関数の微分を含む方程式 常微分／偏微分 n階微分方程式 線形／非線形 定数係数 同次（斉次）／非同次（非斉次） 物理学AI 第６講 微分方程式 物理・工学で頻繁に現れるのは 定数係数線形常微分方程式 dx +b + cx = f(t) 2 dt dt 2 dx 物理学AI 第６講 微分方程式の解法 １階微分方程式 直接積分法、変数分離法、 特性方程式 ２階微分方程式 直接積分法、変数分離法、 特性方程式 物理学AI 第６講 解の性質 ・微分方程式の解は元の微分 方程式を満たす ・微分方程式の階数だけ任意 定数を含む 一般解（初期条件無し） 初期条件を満たす解 物理学AI 第６講 解法（特性方程式） ２階定数係数同次線形微分方程式 2 dx dx +b + cx = 0 2 dt dt x(t) = λt e 2 λ と仮定して代入 + bλ + c = 0 特性方程式 物理学AI 第６講 解法（特性方程式） 特性方程式の解をλ1、λ2とすると x(t) = λ t λ t 1 2 C1 e + C2 e が一般解。λ1 = λ2 = λ（重解）の 場合は後述。 物理学AI 第６講 解法例（特性方程式） 速度vに比例する抵抗がある場合 dv = - cv dt λt v(t) = e と仮定して代入 λt λt λe + c e = 0 ➡ λ= - c 一般解は v(t) = C1 e - ct 物理学AI 第６講 解法例（特性方程式） バネの力を受ける運動 2 dx 2x = -ω 2 dt 特性方程式は λ2 +ω2 = 0 ➡ λ = ± iω 物理学AI 第６講 解法例（特性方程式） 一般解は x(t) = iωt -iωt C1e + C2e 変形すると x(t) = C3 cos(ωt + C4) 物理学AI 第６講 解法（特性方程式） ２階定数係数同次線形微分方程式 の特性方程式が重解を持つ場合、 λt x(t) = C e は解ではあるが一般解ではない。 （任意定数が一つしか無い） 物理学AI 第６講 解法（特性方程式） 定数 C を関数 x(t) = C(t) e λt として、 元の微分方程式に代入すると d2 C(t) = 0 ➡ C(t) = C + C t 1 2 2 dt 一般解は x(t) = (C1+ C2t) e λt 物理学AI 第６講 運動の法則 ∼ニュートンの運動方程式∼ 慣性の法則 運動の法則 作用・反作用の法則 （教科書 1.5） 物理学AI 第６講 第１∼５講 運動の記述 運動を変化させるもの？ 力 (Force) Power Strength May the Force be with you. 物理学AI 第６講 力：接触力 物理学AI 第６講 力：場の力 物理学AI 第６講 ニュートンの第一法則 慣性の法則 静止または等速度運動をする物体は、 外力によってその状態を変えられな い限り、その状態を続ける。 物理学AI 第６講 ニュートンの第一法則 慣性の法則 力 f = 0 ならば 加速度 a = 0 微分方程式で書けば 2 dx =0 2 dt 物理学AI 第６講 ニュートンの第一法則 物理学AI 第６講 ニュートンの第一法則 物理学AI 第６講 ニュートンの第一法則 静止または等速度運動： 2 d x 加速度 a = 2 = 0 dt 微分方程式の一般解は x(t) = C1 + C2t 物理学AI 第６講 相対運動 座標系 x, y, z, t 座標系 x , y , z , t ガリレイ変換 相対速度 Vx x y z t = x - tVx =y =z =t 物理学AI 第６講 ニュートンの第二法則 運動の法則 物体の加速度は外力に比例し、質量 に反比例する。 2x d m a = f m 2 =f dt ニュートンの運動方程式 物理学AI 第６講 ニュートンの第二法則 物理学AI 第６講 ニュートンの第二法則 物理学AI 第６講 ニュートンの第二法則 物理学AI 第６講 ニュートンの第二法則 物理学AI 第６講 ニュートンの第二法則 物理学AI 第６講 ニュートンの第三法則 作用・反作用の法則 ２つの物体が互いに及ぼし合う力 は、大きさが等しく方向は反対で ある。 f 12 = -f21 物理学AI 第６講 ニュートンの第三法則 物理学AI 第６講 レポート1 地球と月の距離は 2,000,000スタディオン。 どうすれば太陽までの距離 が求まるか？ ヒント：三角法 注意：月に人は居ない アリスタルコス 物理学AI 第６講 レポート2 次の微分方程式の一般解を特性 方程式を用いて求めなさい。ま た、得た解が元の微分方程式を満た すことを検算しなさい。 dx d2x d4x = -x, = -x, 4 = x 2 dt dt dt 物理学AI 第６講 締切：6月 5日 13:00 提出先：B8-205 （数理工学事務）
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