解説 - H.Yagyu Web

高３数 γ
積分（６）
No. 16
（理系問題演習／柳生）
2014/9/29
（平成２６年東大）
問 37
座標平面上の原点を O で表す．
√
√
線分 y = 3x (0 ! x ! 2) 上の点 P と，線分 y = − 3x (−2 ! x ! 0) 上の点 Q が，線分 OP と線分
OQ の長さの和が 6 となるように動く．このとき，線分 PQ の通過する領域を D とする．
(1) s を 0 ! s ! 2 をみたす実数とするとき，点 (s, t) が D に入るような t の範囲を求めよ．
(2) D を図示せよ．
!
#
解答の方針 $
"
・直線 PQ の方程式をパラメータ表示．
・s を固定したときの t の取りうる値の範囲を p を変化させて調べる（順像法）．
(解) (1) 点 P(p,
√
3p) とおく．
仮定より
1 ! p ! 2 ···#
1
√
また，点 Q(p − 3, − 3(p − 3)) である．
直線 PQ を
l の方程式は
√ l とすると，
√
√
3p + 3(p − 3)
l:y=
(x − p) + 3p
√ p − (p − 3)
√
3(2p − 3)
=
(x − p) + 3p
√ 3
√
3(2p − 3)
3p(2p − 3) √
=
x−
+ 3p
3!
!3
"
"
√
√ 2 2
2
= 3
p−1 x− 3
p − 2p · · · #
2
3
3
である．
√
.y = − 3x .Q
.y =
.y
√
3x
.P
.−2
.p − 3
.
.O
.p
.2
.x
点 (s, t) が l 上にあるとき
が成り立つ．
!
"
!
"$
√ # 2
2 2
t= 3
p−1 s−
p − 2p
3
3"
!
$
√ # 2
2
= 3 − p2 +
s+2 p−s
3
3
$
√ # 2 % 2
&
= 3 −
p − (s + 3)p − s
3 !
"2
!
"2
$
√ # 2
s+3
2 s+3
= 3 −
p−
+ ·
−s
3 !
2 "
3
2
2
√ # 2
s+3
1 2 3$
= 3 −
p−
+ s +
···#
3
3
2
6
2
#
3 の右辺を p の二次関数とみて f (p) とおく．
(s, t) が D に属するとき，s を 0 ! s ! 2 の範囲で固定したときの t の範囲，すなわち f (p) の値域を調
s+3
べる．ここで，f (p) のグラフは上に凸の放物線で，軸の方程式が p =
であることに注意しておく．
2
(i) 0 ! s ! 1 のとき
(s, t) が線分 PQ 上の点となる p の範囲： 1 ! p ! 2 で f (p) の値域を調べる．
!
"
3 s+3
s+3
軸について !
! 2 であるから，グラフ（省略）より，f (1) ! t ! f
が成り立つ．
2
2
2 √
√
!
"
!
"
!2
" √
√ s 3
√
1
4
3
s+3
3 2 3 3
f (1) = 3 − s +
=−
(s − 4), f
= 3
+
=
s +
3
3 √
3 √
2
6 2
6
2
√
3
3 2 3 3
より，−
(s − 4) ! t !
s +
(0 ! s ! 1) · · · #
4
3
6
2
(ii) 1 ! s ! 2 のとき
(s, t) が線分 PQ 上の点となる p の範囲： s ! p ! 2 で f (p) の値域を調べる．
s+3 5
軸について 2 !
! であるから，グラフ（省略）より，f (s) ! t ! f (2) が成り立つ．
2
2 !
" √
√
√ 1
4
3
f (s) = 3s, f (2) = 3
s+
= (s + 4)
3
3
3
√
√
3
より， 3s ! t !
(s + 4) (1 ! s ! 2) · · · #
5
3
√
√
 √
3
3
3
3

2
 −
(s − 4) ! t !
s +
(0 ! s ! 1 のとき)
3
6
2
√
以上より，
··（
· 答）

 √3s ! t ! 3(s + 4) (1 ! s ! 2 のとき)
3
(2) −2 ! s ! 0 の範囲の D については 0 ! s ! 2 の部分と y 軸に関して対称であるから，(1) の結果と
合わせて，D は図の太線の周および内部の領域．
√
.y
.y = − 3x
√
.2 3
.y =
√
3x
√
√
3 2 3 3
.y =
x +
6
2
√
.5 3 3
√
. 3
√
3
.y = (x + 4)
3
.−2
.−1
.
.O
.1
.2
.x
.y = −
√
3
(x − 4)
3
（平成１６年東大）
問 38
半径 10 の円 C がある．半径 3 の円板 D を，円 C に内接させながら，円 C の内周に沿って滑
ることなく転がす．点 P が，円 C の円周に接してから再び円 C の円周に接するまでに描く曲線は，円
C を 2 つの部分に分ける．それぞれの面積を求めよ．
!
#
解答の方針 $
"
・点 P のパラメータ表示を求め，積分する．
(解) 座標平面上で，円 D が点 (1, 0) で接する状態から D を時計回りに回転させて考える．
円 D の中心を O1 ，円 C と円 D の接点を Q とし，
.y
∠PO1 Q = θ とする．点 P が再び円 C に接するまで
に，θ は 0 ! θ ! 2π の範囲を動く．また，直線 OO1
が x 軸の正の向きとなす角は
6π
θ
3
2π ×
× = θ
20π 2π 10
である．
.Q
.O1
.θ
3π.O
.10 cos
5
.
3
. θ
10
.P
したがって，点 P(X, Y ) とすると，X, Y は θ を用いて
!
"
!
"
!
"
!
"
3
7
3
7
X = 7 cos
θ + 3 cos − θ = 7 cos
θ + 3 cos
θ
! 10 "
! 10 "
! 10 "
! 10 "
3
7
3
7
Y = 7 sin
θ + 3 sin − θ = 7 sin
θ − 3 sin
θ
10
10
10
10
とパラメータ表示される．
!
"
21
3
21
7
21
7
3
21 θ
θ
X (θ) = − sin θ −
sin θ = −
sin θ + sin θ = − sin cos < 0
10 10
10 10
10
10
10"
5
2
5
!
21
3
21
7
21
7
3
21
θ
θ
Y " (θ) = cos θ −
cos θ = −
cos θ − cos θ = sin sin > 0
10
10
10
10
10
10
10
5
2 5
となるから，X は単調減少，Y は単調増加である．
"
したがって，分割される部分のうち小さい方の面積 S は，
+,
!
"
, 10
3
10
π
1
3π
3π
6
5
2
S = 10 π × −
Y dX − −10 cos
10 sin
= 30π − 25 sin π −
Y dX
2π
2
5
5
5
10 cos 35 π
10 cos 35 π
, 10
π
= 30π + 25 sin −
Y dX
5
10 cos 35 π
である．
.x
ここで
"!
"!
"$
3
7
21
7
3
Y dX =
7 sin θ − 3 sin θ
−
sin θ + sin θ
dθ
10
10
10
10
10
10 cos 35 π
2π
"
, !
21 2π
7θ 3θ
2 3θ
2 7θ
=
7 sin
− 3 sin
+ 4 sin sin
dθ
10 0
10
10
10 10
3θ
7θ
! "!
"
,
1 − cos
21 2π # 1 − cos 5
1
2θ $
5
=
7·
−3·
+4 −
cos θ − cos
dθ
10 ,0 !
2
2
2 "
5
21 2π
2θ 7
3θ 3
7θ
=
2 − 2 cos θ + 2 cos − cos + cos
dθ
10 0
5 2
5 2
5
21.
2θ 35 3θ 15 7θ /2π
=
2θ − 2 sin θ + 5 sin − sin + sin
10 !
5
6
5 14" 5 0
21
4π 35 6π 15 14π
=
4π + 5 sin − sin + sin
10 !
5
6
5 14 " 5
21
π 35 π 15 π
=
4π + 5 sin + sin + sin
10 !
5 "6
5 14 5
21
250 π
=
4π +
sin
10
21
5
42π
π
=
+ 25 sin
5
5
!
"
π
42π
π
108π
であるから， S = 30π + 25 sin −
+ 25 sin
=
5
5
5
5
108π
108π
392π
よって 2 つの部分の面積はそれぞれ
と 102 π −
=
5
5
5
,
10
,
0
#!
備考：なお，この問題を極座標表示された曲線の積分公式（
ない．
（P の偏角を θ として，OP2 を求めるのが難しい．
）
,
1 2
r dθ ）を用いて解くことは容易では
2

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