サイクロイド θ

第 30 講媒介変数を用いて表された曲線
数学Ⅲ
【問題１】
サイクロイド x = q - sin q ， y = 1 - cosq の 0 ＜q ＜ 2p の部分を C とする． x 軸上に２点
A( a, 0) ， B( a + p , 0) をとる．ただし， 0 ＜ a ＜ p とする． C 上の２点 P と Q における C の法
2
線が，それぞれ A と B を通るとき，次に答えよ．
（１） P と Q の座標を a を用いて表せ．
（２）C および３線分 PA ， AB ，BQ で囲まれた図形の面積が 3 (p + 3) となるように a の値を
2
定めよ．
181
【問題２】
xy 平面において，原点 O(0, 0) を中心とする半径 1 の円 C0 と，最初にその中心が座標 (2, 0) の
点にあり， C0 上を反時計回りに滑ることなく回転移動する半径 1 の動円 C がある．動円 C の中
心を O¢ とする．また原点 O を端点とする点 A(1, 0) を通る半直線 OA から反時計回りに見たとき
の，半直線 OA と原点 O を端点とする半直線 OO¢ が作る角を q (0 ≦ q ≦ 2p ) とする．このとき，
最初，座標 (3, 0) の点にあった動円 C 上に固定された点 P と原点 O との距離 OP を q を用いて表
せ．また点 P の軌跡の概形を描け．
182
第 30 講媒介変数を用いて表された曲線解答
数学Ⅲ
【問題１】
サイクロイド x = q - sin q ， y = 1 - cosq の 0 ＜q ＜ 2p の部分を C とする． x 軸上に２点
A( a, 0) ， B( a + p , 0) をとる．ただし， 0 ＜ a ＜ p とする． C 上の２点 P と Q における C の法
2
線が，それぞれ A と B を通るとき，次に答えよ．
（１） P と Q の座標を a を用いて表せ．
（２）C および３線分 PA ， AB ，BQ で囲まれた図形の面積が 3 (p + 3) となるように a の値を
2
定めよ．
dy
（１） dx = 1 - cosq ，
= sin q であるから， C 上の点 (q - sin q , 1 - cos q ) における
dq
dq
法線の方程式は， q ¹ p のとき y - (1 - cosq ) = - 1 - cosq { x - (q - sin q )} ……①
sinq
y = 0 とすると
y
-(1 - cosq ) = - 1 - cosq { x - (q - sin q )}
C
Q
sin q
P
0 ＜q ＜ 2p より， 1 - cosq ¹ 0 である
A
B
から
a +p
a
O
x
sin q = x - q + sin q \ x = q
図１
よって，直線①が A( a, 0) を通るとき，
y
q = a より
C
Q 1 + cos a
P( a - sin a, 1 - cos a )
B( a + p , 0) を通るとき，q = a + p より
Q( a + p + sin a, 1 + cos a )
（２）求める面積 S は，図２の斜線部分
1 - cos a P
O
A
sin a
であるから
a +p +sin a
ydx - 1 sin a(1 - cos a ) - 1 sin a(1 + cos a )
ò
2
2
=
× dq - sin a
ò y × dx
dq
=
ò (1 - cosq ) dq - sin a
q
=
)
ò ( 32 - 2cosq + 12 cos2q ) dq - sin a ( cos q = 1 + cos2
2
S=
a -sin a
a +p
a
a +p
2
a
a +p
2
a
a +p
= é 3 q - 2sin q + 1 sin 2q ù - sin a = 3 (p + 2sin a )
ë2
ûa
2
4
よって， S = 3 (p + 3) となるとき
2
このとき， 0 ＜ a ＜ p より
2
183
a=p
3
sin a =
3
2
B
図２
sin a
x
【問題２】
xy 平面において，原点 O(0, 0) を中心とする半径 1 の円 C0 と，最初にその中心が座標 (2, 0) の
点にあり， C0 上を反時計回りに滑ることなく回転移動する半径 1 の動円 C がある．動円 C の中
心を O¢ とする．また原点 O を端点とする点 A(1, 0) を通る半直線 OA から反時計回りに見たとき
の，半直線 OA と原点 O を端点とする半直線 OO¢ が作る角を q (0 ≦ q ≦ 2p ) とする．このとき，
最初，座標 (3, 0) の点にあった動円 C 上に固定された点 P と原点 O との距離 OP を q を用いて表
せ．また点 P の軌跡の概形を描け．
動円 C 上で，最初 (1, 0) にあった点を Q とする．角 q だけ回
転したときの OO¢ と円 C0 との交点を R とすると，両円におい

 = RQ
 だから， Ð RO¢Q = q である．よって， O¢Q が x 軸
て， AR

y
P
O¢


の正の向きとなす角は 2q - p となる． O¢P = -O¢Q より， O¢P が
x 軸の正の向きとなす角は 2q である．ゆえに
  
OP = OO¢ + O¢P
= 2(cos q , sin q ) + (cos 2q , sin 2q )
= (2cos q + cos 2q , 2sin q + sin 2q )
R q
1
-1
O
q
A Q
1
-1
したがって
OP = (2cosq + cos2q )2 + (2sin q + sin 2q )2
=
5 + 4(cos 2q cosq + sin 2q sin q )
= 5 + 4 cosq
P( x , y ) とすると， x = 2cosq + cos2q ， y = 2sinq + sin 2q より
dx = -2sin q - 2sin 2q = -2sin q - 4 sin q cosq
dq
= -2sin q (1 + 2cosq )
dy
= 2 cosq + 2 cos 2q = 2 cosq + 2(2 cos2q - 1)
dq
= 2(2cosq - 1)(cosq + 1)
グラフは上下対称だから， 0 ≦ q ≦ p での増減表を調べると次のようになる．
q
0

p
3

2p
3

p
dx
dq
dy
dq
0
-
-
-
0
+
0
+
+
0
-
-
-
0

( 12 , 3 23 )

( - 32 , 23 )

( -1, 0)
( x , y ) (3, 0)
184
Q
2
P
3 x
よって，グラフの概形は次図のようになる．
y
3 3
2
3
2
-3
2
185
-1
O
1
2
3
x

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