Chapter 3

4
4.1
フーリエ解析
周期関数
ある関数 f (x) が、任意の x で
f (x + λ) = f (x)
を満たすとき、f (x) を周期 λ の周期関数とよぶ。
4.1.1
三角関数
周期 2π ： sin(x + 2π) = sin(x) など
周期 π ： sin(2(x + π)) = sin(2x) など ! !
""
周期 2π/n： sin n x + 2π
= sin(nx) など
n
周期 2π/n の周期関数は、周期 2π の周期関数でもある。
つまり、cos(x)、sin(x)、cos(2x)、sin(2x)．
．
．全て周期 2π の周期関数。
4.1.2
周期 2π の周期関数の一般形
c0 、an 、bn を定数として、それらの線形結合をとれば、周期 2π の周期関
数の一般形を構成できる。 f (x) = c0 +
∞
#
an cos(nx) +
n=1
∞
#
bn sin(nx)
(112)
n=1
三角関数の和 → 周期関数（となることを見た。）
（その逆に）任意の周期関数 → 三角関数の和＝フーリエ級数展開
問）f (x) および g(x) は、ともに周期 λ の周期関数とする。このとき、a、
b を任意の定数として、F (x) = af (x) + bg(x) も、周期 λ の周期関数であ
ることを証明せよ。
23
4.2
周期関数のフーリエ展開
周期 2π の周期関数は、常に
f (x) = c0 +
∞
#
an cos(nx) +
n=1
と級数展開できるだろう。
∞
#
bn sin(nx)
(113)
n=1
ならば、定数 c0 、an 、bn はどう決める？
4.2.1
数学的準備
m > 0、n > 0 とすれば、
$ 2π
$
cos(mx)dx =
0
2π
sin(mx)dx = 0
(114)
0
同様に、m > 0、n > 0 として以下が成り立つ。（ → 演習１）
$ 2π
Icc =
cos(mx) cos(nx)dx = πδmn
0
$ 2π
Iss =
sin(mx) sin(nx)dx = πδmn
0
$ 2π
Ics =
cos(mx) sin(nx)dx = 0
(115)
0
4.2.2
フーリエ係数の決定
（113）の展開式の両辺に cos(mx) を掛けて積分すれば、
$
2π
f (x) cos(mx)dx = c0
0
$
2π
cos(mx)dx
0
+
∞
#
an
+
n=1
24
2π
cos(mx) cos(nx)dx
0
n=1
∞
#
$
bn
$
2π
cos(mx) sin(nx)dx
0
(116)
ここで、（115）式を用いれば、第１項と第３項はゼロであるから、
$ 2π
∞
#
an πδmn = πam
(117)
f (x) cos(mx)dx =
0
n=1
同様に、（113）式の両辺に sin(mx) を掛けて積分すれば、
$ 2π
∞
#
f (x) sin(mx)dx =
bn πδmn = πbm
0
(118)
n=1
これらを、（m → n と置き換えて）an 、bn について解けば、
$
1 2π
an =
f (x) cos(nx)dx
π 0
$
1 2π
bn =
f (x) sin(nx)dx
π 0
また、（113）式の両辺をそのまま積分すれば、
$ 2π
1
c0 =
f (x)dx
2π 0
(119)
(120)
これで、原理的には、全ての展開係数が計算できることになった。
フーリエ展開の展開係数 c0 、an 、bn をフーリエ係数とよぶ。
上記の議論は、0 ≤ x ≤ 2π でのみ定義された関数（すなわち疑似周期関
数）に対しても適用できる。
4.2.3
関数の定義域の任意性について
上記の議論は、x = a ∼ a + 2π の長さ 2π の任意の積分区間でも同様に成
り立つ。
例えば、フーリエ係数の決定式を
$
1 π
an =
f (x) cos(nx)dx
π −π
$
1 π
bn =
f (x) sin(nx)dx
π −π
$ π
1
c0 =
f (x)dx
2π −π
25
(121)
と書き換えることも出来る。
よって、f (x) が偶関数のとき bn = 0、すなわち
f (x) = c0 +
∞
#
an cos(nx)
(122)
n=1
また、f (x) が奇関数のとき an = 0、c0 = 0、すなわち
f (x) =
∞
#
bn sin(nx)
(123)
n=1
4.2.4
一般の周期をもつ周期関数
（これまで周期 2π の周期関数を扱ったが）
周期が λ の周期関数、すなわち f (x + λ) = f (x) の場合はどうだろうか？
y = 2πx/λ とおけば、
x+λ=
λ
λ
y+λ=
(y + 2π)
2π
2π
(124)
したがって、f (x) を y の関数とみて f (x) = g(y) と書けば、g(y) は周期
2π の周期関数とみなせる。
（113）式より、
f (x) = g(y) = c0 +
∞
#
an cos(ny) +
∞
#
bn sin(ny)
n=1
n=1
ここで、y を 2πx/λ で置き換えれば、
%
∞
%
x& #
x&
f (x) = c0 +
an cos 2πn
+
bn sin 2πn
λ
λ
n=1
n=1
∞
#
(125)
(126)
このとき、フーリエ係数 an についても y → x へ積分変数を変換すれば、
1
an =
π
$
π
2
g(y) cos(ny)dy =
λ
−π
$
26
%
x&
f (x) cos 2πn
dx
λ
−λ/2
λ/2
(127)
と求めることが出来る。同様に、bn と cn は
bn
c0
$
%
2 λ/2
x&
g(y) sin(ny)dy =
f (x) sin 2πn
dx
λ −λ/2
λ
−π
$ π
$
1
1 λ/2
=
g(y)dy =
f (x)dx
(128)
2π −π
λ −λ/2
1
=
π
$
π
となる。
27
4.3
複素フーリエ級数
実フーリエ級数 → フーリエ係数は３種類 an 、bn 、c0 ・
・
・少し複雑！
→ 複素数を使うと、よりコンパクトな定式化ができる
確かに、オイラーの公式 eix = cos x+i sin x が利用できそう。
次の複素級数を実部と虚部に分けてみよう。
I=
%
x&
dn exp i2πn
λ
n=−∞
∞
#
(129)
（以下では、記述の簡略化のため、zn = 2πnx/λ とおく。）
まず、和を n = 0、n > 0、n < 0 の各場合に分解して、
I = d0 +
∞
#
dn exp(izn ) +
n=1
−1
#
dn exp(izn )
(130)
n=−∞
第３項目で n = −m とすれば、m = 1 ∼ ∞ の和に置き換えることがで
き、その後再び m → n と戻せば、
I = d0 +
∞
#
n=1
{dn exp(izn ) + d−n exp(−izn )}
(131)
ここで、オイラーの公式を用いて各指数を実部と虚部に分けて纏めれば、
I = d0 +
∞
#
n=1
{(dn + d−n ) cos(zn ) + i(dn − d−n ) sin(zn )}
(132)
これが、実フーリエ級数（126）と等しいための条件は、
c0 = d0 , an = dn + d−n , bn = i(dn − d−n )
(133)
また、これを dn について解けば、
1
1
dn = (an − ibn ), d−n = (an + ibn ) = d∗n
2
2
(134)
したがって、n > 0 に対して、dn を決めれば、複素フーリエ展開が定まっ
たことになる。
28
ここで、an 、bn に関する（127）、（128）式を用いれば、
1
(an − ibn )
2
$
' %
%
1 λ/2
x&
x &(
=
f (x) cos 2πn
− i sin 2πn
dx
λ −λ/2
λ
λ
dn =
(135)
これに、再びオイラーの公式を適用して、
1
dn =
λ
$
%
x&
f (x) exp −i2πn
dx
λ
−λ/2
λ/2
(136)
以上を纏めれば、周期 λ の（実）周期関数 f (x) を以下のように「複素」
フーリエ級数展開したとき、
f (x) =
%
x&
dn exp i2πn
λ
n=−∞
∞
#
(137)
フーリエ係数 dn は（136）式で与えられる。（136）式は、実関数 f (x) に
対して、自動的に d−n = d∗n を満たすことも分かる。
問）複素フーリエ係数の計算式（136）を、実フーリエ係数との対応を用
いず、（複素）指数関数の積分により直接導け。
29
4.4
4.4.1
直交級数としてのフーリエ級数
基底関数系
以下では、関数の級数展開を「関数空間」という観点で考える。
まず３次元のベクトル空間との類似性
３方向の単位ベクトルを $ex 、$ey 、$ez とすると、以下の性質が成り立つ。
○ |$ex | = |$ey | = |$ez | = 1・
・
・規格化
○ $ex · $ey = $ey · $ez = $ez · $ex = 0 ・
・
・直交性
$ = ax$ex + ay$ey + az$ez ・
○ X
・
・完全性
$ は必ず３ベクトルの線形結合で表せる
任意のベクトル X
任意関数 f (x) のフーリエ級数展開は、kn = 2πn/λ とおいて、
∞
∞
#
a0 #
an cos (kn x) +
bn sin (kn x)
f (x) =
+
2
n=1
n=1
(138)
（ここでは、便宜上、c0 = a0 /2 とおいた。）
このとき、基底関数系を以下のようにとれば、
(φ0 (x), φ1 (x), φ2 (x), φ3 (x), · · ·)
% √
&
√
√
= 1, 2 cos(k1 x), 2 sin(k1 x), 2 cos(k2 x), · · ·
(139)
（115）より基底関数の直交性
1
λ
$
λ/2
φm (x)∗ φn (x)dx = δmn
(140)
−λ/2
を満たすことがわかる。
このように、
「規格化」され、互いに「直交」する関数系（関数のセット）
を正規直交系とよぶ。
30
問）(1, exp(±ik1 x), exp(±ik2 x), · · ·) が正規直交系を構成することを示せ。
今度は逆に考えて、(φ0 (x), φ1 (x), φ2 (x), · · ·) を（周期 λ の）任意の正規
直交系としよう。
ここで、任意関数 f (x) を、
f (x) =
∞
#
γn φn (x)
(141)
n=1
と展開してみる。
このとき、（141）式両辺に φ∗m (x) をかけて積分すれば、
1
λ
$
λ/2
−λ/2
f (x)φ∗m (x)dx
∞
#
1
γn
=
λ
n=1
$
λ/2
−λ/2
φ∗m (x)φn (x)dx
(142)
ここで直交性（140）を用いれば、上式は展開係数 γm そのものであるこ
とが分かる。すなわち
1
γn =
λ
$
λ/2
−λ/2
f (x)φ∗n (x)
(143)
から、γn を決めることができる。
このように、フーリエ級数展開は、直交関数系による関数の展開の一例
という見方もできるのである。
4.4.2
級数の収束性
では、任意関数 f (x) は、常に直交系で展開できる？
例えば、一成分だけ欠如した（三角関数）直交系
%
&
√
√
1, ＿＿, 2 sin(k1 x), 2 cos(k2 x), · · ·
(144)
により、展開形を書き付けることは可能。しかし、それは明らかに不完
全な表現。
31
これを明示するために、第 N 項までの和を
fN (x) =
N
#
γn φn (x)
(145)
n=0
とかけば、（144）の不完全な直交系では
lim fN (x) &= f (x)
N →∞
(146)
すなわち、N を大きくしても元の関数に収束しないのである。
ちなみに、任意の x で、展開形が正しい表現になっているかどうかを判
定する目安として以下の積分値が用いられる。
)2
$ λ/2 ))
N
)
#
)
)
IN =
fN (x)) dx
(147)
)f (x) −
)
)
λ/2
n=0
級数が完全な表現であれば、limN →∞ IN = 0。
→ このときの直交系 (φ0 , φ1 , · · ·) を完全直交系とよぶ。
これらは、ベクトル表現の例で言えば、３次元空間に対して、($ex , $ey , $ez )
が完全系になっていることに対応する。
（147）式は、fN (x) を f (x) の近似式として見たときの誤差と見ることも
出来る。
任意関数 f (x)
→ 三角関数系、ルジャンドル関数系によって展開可能。
↓
有限次の展開で、どちらの近似が良いかは、f (x) による。
32
4.5
フーリエ積分とフーリエ変換
周期をもたない一般の関数のフーリエ解析＝フーリエ変換非周期関数 → 周期 ∞ の周期関数
以下では、周期 λ の周期関数を考え、最後に λ → ∞ とする。
フーリエ級数は、kn = 2πn/λ とおき、
fλ (x) =
∞
#
dn exp(ikn x)
(148)
n=−∞
ここで、n に関する和が、λ → ∞ で積分に帰着することを示す。
まず、∆k = 2π/λ とおき、
∞
1 #
fλ (x) =
λdn exp(ikn x)∆k
2π n=−∞
(149)
和は、長辺 λdn exp(ikn x)、短辺 ∆k の短冊の面積を足し上げたものとな
ることが分かる。
ここで、λdn = D(kn ) とおき直して、 D(k) を k の連続関数とする。この
とき、λ → ∞ で ∆k → 0 であるので、和は D(k) exp(ikx) の k 積分にな
るわけである。
$ ∞
1
f (x) = lim fλ (x) =
D(k) exp(ikx)dk
(150)
λ→∞
2π −∞
周期関数における級数が、非周期関数では積分に置き換わったことから、
これをフーリエ積分とよぶ。
また、このとき、（フーリエ係数に対応する）フーリエ変換 D(k) を、
$ ∞
D(k) = lim λdn =
f (x) exp(−ikx)dx
(151)
λ→∞
−∞
と与えることが出来る。
33
つまり、任意の非周期関数を、三角関数（複素指数関数）の積分として
表現できることを表している。
問）次の関数のフーリエ変換を求めよ。
*
1, for −a < x < a
f (x) =
0,
for a < |x|
34

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