2014/10/10(金) 19:40-21:10 数学演習第 18 回解答 (概要)
1. f (z) =
z
(z ̸= 0) とする. このとき, lim f (z) は存在するかどうかを調べよ.
z→0
z
[20 点]
解答 (概要). 複素平面上の点 z := x + yi が, 直線 y = mx に沿って 0 に近づくとすれば,
z
x − yi
x − mxi
x(1 − mi)
1 − mi
=
lim
=
lim
=
lim
=
.
y=mx, x→0 z
y=mx, x→0 x + yi
y=mx, x→0 x + mxi
y=mx, x→0 x(1 + mi)
1 + mi
1 − mi
は点 z の経路である直線の傾き m とともに変化する. したがって, lim f (z) は存在しない. · · · (答)
しかし, 上の極限値
z→0
1 + mi
lim
2. 次の関数 w の導関数 w′ を求めよ.
[(1) 10 点, (2) 10 点, (3) 10 点]
(1) w = z 3 − 2z + 1
解答 (概要). (1) w′ = 3z 2 − 2.
(2) w′ =
(2) w =
z
(z ̸= −3)
z+3
(3) w = iz 2 + z
z ′ · (z + 3) − z · (z + 3)′
(z + 3) − z
3
=
=
.
(z + 3)2
(z + 3)2
(z + 3)2
(3) w′ = 2iz + 1.
3. 次の関数 w が正則になるように, 定数 a, b, c, d を求めよ.
(1) w = (ax + 3y) + (bx − 4y)i
· · · (答)
[(1) 15 点, (2) 15 点]
(2) w = (x2 + axy + by 2 ) + (cx2 + dxy + y 2 )i
解答 (概要). コーシー・リーマンの方程式が任意の x, y について成立するように定数 a, b, c, d を決めればよい.
(1) u(x, y) = ax + 3y, v(x, y) = bx − 4y をコーシー・リーマンの方程式に代入すると,
∂u
∂v
∂u
∂v
=
⇐⇒ a = −4,
=−
⇐⇒ 3 = −b.
∂x
∂y
∂y
∂x
(
)
∂u
∂v
したがって, a = −4, b = −3 w の導関数は w′ =
+i
= −4 − 3i となる .
∂x
∂x
· · · (答)
(2) u(x, y) = x2 + axy + by 2 , v(x, y) = cx2 + dxy + y 2 をコーシー・リーマンの方程式に代入すると,
∂v
∂u
∂v
∂u
=
⇐⇒ 2x + ay = dx + 2y,
=−
⇐⇒ ax + 2by = −2cx − dy.
∂x
∂y
∂y
∂x
(
∂u
∂v
係数比較により, 2 = d, a = 2 および a = −2c, 2b = −d を解くと, a = 2, b = −1, c = −1, d = 2
= 2(x + y),
= −2(x − y)
∂x
∂x
)
∂v
∂u
+i
= 2(x + y) − 2(x − y)i となる .
· · · (答)
より, w の導関数は w′ =
∂x
∂x
4. 関数 w = e2z+1 について, 次の問に答えよ.
(1) w を u + vi の形に書け.
[(1) 10 点, (2) 10 点]
(2) w の導関数 w′ を求めよ.
解答 (概要). (2) 関数 w = e2z+1 が z 平面の全域で正則であることを先に示してから, 関数 w = e2z+1 の導関数 w′ を与えよう.
(1) z = x + yi とする. このとき, 2z + 1 = 2(x + yi) + 1 = (2x + 1) + 2yi. したがって, e2z+1 = e(2x+1)+2yi . ここで, 指数関数の
定義より, 複素数 a + bi (a, b は実数) に対して
ea+bi = ea (cos b + i sin b).
(∗)
であることに注意し, (∗) 式に a = 2x + 1, b = 2y を代入すると e(2x+1)+2yi = e2x+1 (cos 2y + i sin 2y). よって,
w = e2z+1 = e2x+1 (cos 2y + i sin 2y) あるいは w = e2z+1 = e2x+1 cos 2y + e2x+1 sin 2yi.
· · · (答)
(2) はじめに, u(x, y) = e2x+1 cos 2y, v(x, y) = e2x+1 sin 2y とおく. このとき
∂u
∂
= (e2x+1 cos 2y) = 2e2x+1 cos 2y,
∂x ∂x
∂v
∂
= (e2x+1 sin 2y) = 2e2x+1 cos 2y.
∂y ∂y
∂v
∂v
2z+1
= ∂y
が成立し, ∂u
は複素平面の
∂y = − ∂x も上式と同様に成立する [各自で確かめよう]. 以上より, 関数 w = e
全域でコーシー・リーマンの方程式を満たすので, 正則である.
ξ
2z+1
. したがって, 合成関数の微分公式を用いると
次に, ξ = 2z + 1 とおくと w = eξ であり, dw
dξ = e = e
すなわち,
∂u
∂x
w′ =
dw dξ
= e2z+1 · (2z + 1)′ = 2e2z+1 .
dξ dz
· · · (答)