微分方程式模擬定期試験問題注意 1. 定期試験にはこの模擬定期試験

微分方程式模擬定期試験問題
注意 1. 定期試験にはこの模擬定期試験問題と類似な問題を関数や数値を変更して出題する．
注意 2. 定期試験において，持ち込みは全て不許可です．
以下において, y, y0 , y1 , y2 は x の関数 y = y(x), y0 = y0 (x), y1 = y1 (x), y2 = y2 (x) とする．
1 次の同次線形微分方程式の一般解を求めよ．
(1) 2y + 3y = 0
(4) y + 2y + 4y = 0
(2) y + y − 6y = 0
(3) 9y − 12y + 4y = 0
(5) y + 5y + 8y + 4y = 0
2 定数変化法により, 次の 1 階線形微分方程式の一般解を求めよ．
y −
2
y = x3 cos 2x
x
3 定数変化法により, 次の 2 階線形微分方程式の一般解を求めよ．
y + 2y − 8y = 18xe−x
4 次の線形微分方程式 1 について次の問に答えよ．
xy + (2x + 1)y + (x + 1)y = (3x2 − 2x)e−x · · · 1
1 に対応する同次線形微分方程式の特殊解である事を確認せよ．
(1) 関数 y0 = e−x は, (2) 階数低下法により, 1 の一般解を求めよ．
微分方程式模擬定期試験問題 1
1 (1) 特性方程式 2t + 3 = 0 を解く. t +
3
2
2 解説
3
= 0 より t = − 32 . 一般解は, y = Ae− 2 x (A：任意定数)
(2) 特性方程式 t2 + t − 6 = 0 を解く. (t + 3)(t − 2) = 0 より t = −3, 2. 一般解は, y = Ae−3x + Be2x (A, B ：任意定数)
(3) 特性方程式 9t2 − 12t + 4 = 0 を解く．(3t − 2)2 = 0 より t =
2
2
2
Ae 3 x + Bxe 3 x = (A + Bx)e 3 x (A, B ：任意定数)
2
3
(2 重解). よって一般解は, y =
√
(4) 特性方程式 t2 + 2t + 4 = 0 を解く．(t + 1)2 = −3 より t = −1 ± i 3．よって一般解は,
√
√
√
√
y = Ae−x cos 3x + Be−x sin 3x = e−x (A cos 3x + B sin 3x) (A, B ：任意定数)
(5) 特性方程式 t3 + 5t2 + 8t + 4 = 0 を解く．定数項 4 の因数 ±1, ±2, ±4 に着目すれば t = −2 が解であ
る事に気付く. これより (t + 2)(t2 + 3t + 2) = 0. ∴ (t + 1)(t + 2)2 = 0 と因数分解され t = −1, −2 (2 重解).
よって一般解は, y = Ae−x + Be−2x + Cxe−2x = Ae−x + (B + Cx)e−2x (A, B, C ：任意定数)
2
2
2
dy
1 dy
y = x3 cos 2x · · · = ．両
1 . まず対応する同次方程式 y − y = 0 を解く．y =
より
x
x
dx
y dx
x
辺 x で積分して
1
1
1
1 dy
dx = 2
dx
∴
dy = 2
dx
∴ log y = 2 log x + C (C ：任意定数)
y dx
x
y
x
2 y −
∴ y = e2 log x+C = eC x2 . ここで, K = eC とおいて y = Kx2 .
次に定数 K を変化させて関数 K = K(x) と考え y = K(x)x2 · · · 2 とおいて 1 を解く.
2
2
2
2
y = Kx と y = K x + K(x ) = K x + 2Kx より
1 ⇔ (K x2 + 2Kx) −
2
Kx2 = x3 cos 2x ⇔ K x2 = x3 cos 2x
x
⇔ K = x cos 2x ⇔ K =
ここで,
x cos 2x dx
2x
cos 2x dx = sin22x + C, sin 2x dx = − cos
+ C と部分積分法を用いて
2
x sin 2x 1
sin 2x
sin 2x
)− x(
) dx =
−
sin 2x dx
K = x cos 2x dx = x(
2
2
2
2
x sin 2x cos 2x
x sin 2x 1 − cos 2x
− (
)+C =
+
+ C ··· 3
=
2
2
2
2
4
2 に代入して, 1 の一般解は y = Kx2 = ( x sin2 2x +
3を
cos 2x
4
+ C)x2
3 4 の解説は別紙に書きます
1
(C ：任意定数).
微分方程式模擬定期試験問題 3
4 解説
3 y + 2y − 8y = 18xe−x · · · 1 . 特性方程式 t2 + 2t − 8 = 0 を解く. (t + 4)(t − 2) = 0 より t = −4, 2. 1に
−4x
2x
2 の基本解は y1 = e , y2 = e であり, ロンスキアンは
対応する同次方程式 y + 2y − 8y = 0 · · · y y e−4x e2x 1 2 W (y1 , y2 ) = =
= e−4x · 2e2x − e2x · (−4e−4x ) = 6e−2x .
y1 y2 −4e−4x 2e2x 2 の一般解は y = C1 e−4x + C2 e2x (C1 , C2 ：任意定数)．
次に定数 C1 , C2 を変化させて関数 C1 = C1 (x), C2 = C2 (x) と考え
y = C1 e−4x + C2 e2x · · · 3
の形で 1 の解を求める. 3 の両辺を微分して
y = (C1 e−4x − 4C1 e−4x ) + (C2 e2x + 2C2 e2x ) = C1 e−4x + C2 e2x − 4C1 e−4x + 2C2 e2x · · · 4
ここで C1 , C2 は
C1 e−4x + C2 e2x = 0 · · · 5
を満たすとすると 4
5 より
y = −4C1 e−4x + 2C2 e2x · · · 6
6 をさらに微分して
y = −4(C1 e−4x − 4C1 e−4x ) + 2(C2 e2x + 2C2 e2x ) = −4C1 e−4x + 2C2 e2x + 16C1 e−4x + 4C2 e2x · · · 7
1 を書き直すと
3
6
7 を用いて 1 ⇔ (−4C1 e−4x + 2C2 e2x + 16C1 e−4x + 4C2 e2x ) + 2(−4C1 e−4x + 2C2 e2x ) − 8(C1 e−4x + C2 e2x ) = 18xe−x
⇔ −4C1 e−4x + 2C2 e2x = 18xe−x · · · 8
5
8 を行列を用いて表すと
e−4x e2x
−4e−4x 2e2x
C1
C2
=
0
18xe−x
クラメルの公式 (線形代数の教科書を参照せよ) と先に求めた W (y1 , y2 ) = 6e−2x より
0
e2x −e2x · 18xe−x
1
C1 =
= −3xe3x · · · 9,
=
W (y1 , y2 ) 18xe−x 2e2x 6e−2x
e−4x
e−4x · 18xe−x
1
0
= 3xe−3x · · · 10
C2 =
=
−4x
−x
W (y1 , y2 ) −4e
6e−2x
18xe
9
10 の両辺を不定積分して（部分積分法を用いる）
3x
e3x
e3x
3x
e
)− x(
)dx = −xe3x +
+ A ··· C1 = (−3xe ) dx = −3 x(
11 ,
3
3
3
−3x
e−3x
e−3x
−3x
e
)− x(
)dx = −xe−3x −
+ B ··· C2 = 3xe
dx = 3 x(
12
−3
−3
3
11 12 を 3 に代入して, 1 の一般解は
3x
e
e−3x
3x
−4x
−3x
+A e
+ B e2x
y = −xe +
+ −xe
−
3
3
e−x
e−x
+ Ae−4x − xe−x −
+ Be2x = −2xe−x + Ae−4x + Be2x
= −xe−x +
3
3
4 の解説は裏面に書きます
2
(A, B ：任意定数).
4 (1) xy +(2x+1)y +(x+1)y = (3x2 −2x)e−x · · ·
1 . y0 = e−x を微分して y0 = −e−x , y0 = (−1)2 e−x = e−x .
これらを 1 に対応する同次方程式 xy + (2x + 1)y + (x + 1)y = 0 · · · 2 の左辺に代入して整理すると
xy0 + (2x + 1)y0 + (x + 1)y0 = x · e−x + (2x + 1) · (−e−x ) + (x + 1) · e−x
= (x − 2x + x)e−x + (−1 + 1)e−x = 0.
よって, y0 = e−x は 1 に対応する同次方程式 2 の特殊解である．
−x
(2) 次に階数低下法により y = y0 · u(x) = e u(x) · · · 3 とおいて 1 を解く．以後簡単に u = u(x) で表す.
3 より
y = (e−x u) = (e−x ) u + e−x u = −e−x u + e−x u · · · 4
4 をさらに微分して
y = −(−e−x u + e−x u ) + (−e−x u + e−x u ) = e−x u − 2e−x u + e−x u · · · 5
3
4
5を
1 に代入して整理すると (e−x u の項が消えるのがミソ！)
1 ⇔ x(e−x u − 2e−x u + e−x u ) + (2x + 1)(−e−x u + e−x u ) + (x + 1)e−x u = (3x2 − 2x)e−x
1
⇔ xe−x u + e−x u = (3x2 − 2x)e−x ⇔ u + u = 3x − 2 · · · 6.
x
ここで, u = v · · · 7 とおくと u = v より 6 を書き直すと
6 ⇔ v +
1
v = 3x − 2 · · · 8.
x
8 は v の 1 階線形微分方程式だから解の公式 (テキスト p.40) を用いて解くと
Ê
Ê 1
− x1 dx
dx
x
v=e
dx + C1
(3x − 2)e
1
− log x
log x
(3x − 2)x dx + C1
dx + C1 =
(3x − 2)e
=e
x
x3
x2
C1
1
1
2
−2·
+ C1 ) = x2 − x +
··· 9
(3x − 2x) dx + C1 = (3 ·
=
x
x
3
2
x
7
9 より
C1
,
u =x −x+
x
2
x3 x2
C1
∴ u = u dx = (x2 − x +
)dx =
−
+ C1 log x + C2 · · · 10
x
3
2
10 を 3 に代入して, 1 の一般解は
y = e−x u = e−x (
x3 x2
−
+ C1 log x + C2 )
3
2
(C1 , C2 ：任意定数).
(補足) 2 3 で用いた部分積分法とは下の様に積分式を変形する方法です：
f (x)g(x) dx = f (x)G(x) − f (x)G(x) dx
ここで,
g(x) dx = G(x) + C です.
3 の解説は裏面です
3

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