v - 物理学単位

2014/7/13
運動の勢いと運動量
運動量
• 止めるのに要する力が大きいのは（激しい運動）
速く動く物体（速度）
重い物体
（質量）
（急に止める（時間））
運動の法則の拡張
運動の激しさ（勢い）を表す
• 運動量＝質量×速度 → p  mv
大きさmv，速度の向きと同じ


→ ベクトル量
→ p  mv
単位 kg･m/s
衝突、分裂
加速運動における運動量の変化
運動量と力積
質量m の物体に一定の力F を加えてΔt 秒間加速したとき
• 運動量が変化した
運動量変化に相当する力積が働いた
• 運動量の変化の向き＝力の向き
t  t 2  t1
運動の法則
• 同じ力積を得る→力小さいと時間長い。力大きいと時間短い
Δt秒間の速度変化
運動量


F
at  v2  v1
p  mv
m
Ft  mat  mv2  mv1  p2  p1  p
吹き矢の筒の長さと飛行距離
a


Ft  p
矢に与えれる力が同じ：筒が長い→矢が力を受ける時間が長い

Ft
力積〔N･s〕＝〔 kg･m/s 〕
p2  mv2
p1  mv1
v1
F
t1

F t
v2
F

mv
→受ける力積が大きい
運動量小
速度小

mv
運動量大
速度大
t2
物体に加わる力
問17
• ボールを受け止める
力を弱くしたい→力を働かせる時間を長く
力が働く時間が短い → 力が大きい
運動量は物体の質量 × 速度で表されるベクトル量である．物体
• 床に物を落としたとき（エアバッグ）
固い床：力が働く時間は短い→力は大→破壊
である．
に力が働いたとの運動量変化は力積に等しい。
ここで力積＝物体に加えられた力 × 力の作用した時間
• 野球やゴルフのボールを遠くへ飛ばす
大きい速度（大きい運動量）→大きい力積→大きい力
を長い時間加える
ボールとバットまたは，クラブの接触時間を長くする
1
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2.11.2 運動量の保存（衝突・分裂）
問18
10(m/s)で走る1000kgの車の持つ運動量は
10000（1.0×104）
〔kg･m/s〕である．この車に後ろ向きの400 Nの力を10 sの間働かせた
とき，速度は 6.0 〔m/s〕である．車を静止させるにはさらに 15 秒
• 互いの物体には同じ大きさで反対向きの力が働く
（作用反作用の法則）
同じ大きさで反対向きの力積が働く
間この力を加え続けなければならない．


p  mv  1000kg  10m/s  10000kg  m/s  1.0  10 4

Ft  400 10


Ft  p  mv2  mv1
－4000=mv2‐10000kg･m/s
• 互いの運動量変化は同じ大きさで反対向き
→ 両物体の運動量の和は変わらない
衝突
mv2= － 4000+10000＝6000kg･m/s
6000＝1000×v2

Ft  mv1  mv2
t=15 s
－400×t+6000=0
同じ大きさで互いに反
対向きの力積
運動量の保存


F  t  p
• 力積の部分を消去して
m1 v1
• 物体間に作用反作用の力のみが働き，外部からの力が働
かないとき，運動量の和は必ず保存される
• 平面での衝突では，x ，y 方向それぞれの方向で運動量が
保存される
m2 v2
+Ft
‐Ft
v1’
m1v1  m2 v2  m1v1  m2 v2
運動量
増す
運動量保存の法則
• 衝突前質量をm1，m2，速度をv1 v2
• 衝突後質量変化無し，速度をv1' v2'
m1v1  m1v1  Ft
m2 v2  m2 v2  Ft
Ft
‐Ft
v2=6 m/s
運動量
減る
力積
v2’
px
py  0
• 衝突の前後で運動量の和が変化し
ない → 運動量が保存される
2.11.3 反発係数（衝突）
• 反発係数e
＝衝突後の速度差／衝突前の速度差
m1 v1
ただし， 0≦e≦1 v  v
2
1
v2  v1
 e
‐Ft
• 反発係数＝１（弾性衝突）
衝突後の速度差＝衝突前の速度差
•壁に当たったと同じ速さで跳ね返る
• 反発係数＝０（完全非弾性衝突）
衝突後の速度差＝０
衝突後合体，跳ね返らない
反発係数＝０（完全非弾性衝突）
衝突後の速度差＝０
衝突後合体，跳ね返らない
m2 v2
m1 v1
+Ft
v1’
m2 v2
v2’
衝突前後で
相対速度は
逆を向くので
マイナス
v2  v1
v2  v1
 e
v2  v1
v2  v1
 0
v2  v1
v2  v1
2
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弾性衝突での運動量の保存
反発係数＝１（弾性衝突）
衝突後の速度差＝衝突前の速度差
壁に当たったと同じ速さで跳ね返る
片方の台車を止めておき，片方を衝突させる．衝突はバネ
を介して行われるとすると，衝突後の速度はそれぞれどう
なるか？
v2  v1
 e
v2  v1
v2
mv1  0  mv1  mv2
v2  0
 1
v2  0
v2’
壁
v1  0
v2  v1
 1
0  v1
v2  v1
v1
v1  v1  0
v2  v1
 e
v2  v1
v2
v2 = 0
m
m
v2  v2
完全非弾性衝突
実験（分裂での運動量の保存）
衝突後合体させると．衝突後の速度はどうなるか？
１．質量の同じ２台の実験用台車を使い，２台を並べ
ておき，バネで他方を押したとき，２つの台車の速
度はどうなるか？
mv1  0  mv1  mv2
v2  v1
0
0  v1
v1 
v1
v1
2
v2 
v1
2
0  0  mv1  mv2
v1  v2
v2
v2 = 0
m
v2
v1
m
m
m
反発係数や質量が違っても衝突において運動量は必ず保存される
問19
問20
物体の衝突において，運動量保存の法則が成り立つから
車の中に乗っている人は車と同じ速度変化を受ける．
よって，人の運動量変化は速度変化により
mA vA  mBvB  mA vA  mBvB
反発係数から
vB  vA
 e
vB  vA
(1)
 
m v  F  t
人は運動量変化に等しい力積を受ける．
(2)
500  10  1000  10  500vA  1000vB
vB  vA
 0 (4)
(10)  (10)
(3)に代入して
vA  vB  
vA  vB
10
 3.3
3
両車とも負の向きに3.3 m/sで動く
40
 10 
m/s
  10  
3
 3
20
 10 
m/s
vB  vB      ( 10) 
3
 3
A車の速度変化： vA  vA   
この問題における条件を代入して
(3)
B車の速度変化：
vA
mA
－vA
mB
vA
vA’
vB
vB’
3
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問20
A車の人の運動量変化
 40 
mvA  50     〔N・s〕
 3 
B車の人の運動量変化
 20 
mvB  50   
 3 
〔N・s〕


F  t  p
 2000 

  FA  0.10
3 

FA  6.7 103
〔N〕
 1000 

  FB  0.10
 3 
FB  3.3  103
〔N〕
A車の人の受ける力の方が大きい，A車の乗員の方が
ダメージを受ける．
質問
◆ 居室
L1号館５階、物理学研究室１
物理学研究室２
http://phys.clas.kitasato‐u.ac.jp/~sai/kougisiryou‐RE.html
2.13.1 仕事
• 力を加えて物体を動かす
物体に対して仕事をする
物体は仕事をされる
• 仕事＝力×力を作用させた距離
単位〔J〕：ジュール（=〔N・m〕）
2.13 仕事とエネルギー
•仕事
•位置エネルギー
•運動エネルギー
•力学的エネルギー保存則
仕事：力方向と移動方向
• 物体にF〔N〕の力を加えx〔m〕動かす
ただしθは力と移動方向のなす角
力の x 方向成分＝F cosθ
物体のされた仕事＝力のした仕事W〔J〕
W  F  x cos 
W  Fx
Fcos
F
x〔m〕
F〔N〕
θ
x
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仕事の単位
• 仕事の単位 J（ジュール）
物体に1〔N〕の力を加え1〔m〕動かしたときの仕事
＝1〔J〕
問21 以下の質問に答えよ
(１)．図（a）において，親子で力を合わせて物体をx〔m〕動か
した．どちらのした仕事が大きいか．また，二人のした仕事
はそれぞれいくらか．
父のした仕事＝F1x 〔J〕
子のした仕事＝F2x 〔J〕 F1＜F2 だから子供
車のされた仕事＝（F1＋F2）x 〔J〕
(２)．図（b）では，人が倒れかけたタンスを支えている．人は
仕事をしているだろうか．
• 熱量 1 cal≒4.2 J
(1gの水を1℃上げるのに必要な熱量）
移動していないので仕事はしていない
F×0＝0 〔J〕
F1
F2
(３)．A君とB君が図（c）のように物体に力を加えている．物体
がx〔m〕動いたとき，誰がどれほどの仕事をしたか．
B君
Ａ君のした仕事＝F1x
〔J〕
A君
Ｂ君のした仕事＝F2×0＝0 〔J〕
(４)．A君とC君が図（d）のように物体
に力を加え，物体はx〔m〕動いた．
A君は物体に対し仕事をしたか．
C君は物体に仕事をしたか．
F1
エネルギー：仕事をする能力
高いところにある物体は、落下することで
他の物体を動かすことが出来る
x〔m〕
C君
A君
Ａ君のした仕事＝F1x
〔J〕
Ｃ君のされた仕事＝F2x 〔J〕
車はＡ君から仕事をされＣ君に仕事をした
（Ｃ君のした仕事＝－F2x）
エネルギーと仕事
動いている物体は、衝突することで
他の物体を動かすことが出来る
F2
F
x〔m〕
F1
F2
x〔m〕
＊物体に仕事をするとエネルギーとして物体に蓄えられる
問22
2.13.3 重力の位置エネルギー
“地表”からh〔m〕の高さにあるm〔kg〕の物体は”地表”に対して
mgh〔J〕だけ大きな位置エネルギーを持つ
• 重力 mg 〔N〕に逆らってh 〔m〕の高さ持ち上げる
のに要する仕事＝mgh〔J〕
物体の位置エネルギーとして蓄えられている
h • 地球と物体は重力で引き合う
h〔m〕落下：
重力のした仕事mgh〔J〕
摩擦が無視できる斜面（水平と30°）に沿って1000kgの
車を，元の位置から10m高い位置まで引き上げた。引き
上げるに要した仕事は何Jか，また，車の位置エネル
ギーの増加は何Jか．
W  Fx
F  mg sin 30  4900
斜面の長さ＝x
10
x
 20
sin 30
mg sin 30
F
W  4900  20  98000
h=10m
30°
9.8×104J
mg
直接持ち上げるとき
W  mgh  1000  9.8 10  98000
mg
9.8×104J
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仕事の原理
運動エネルギー
•
•
•
•
てこや斜面を使って仕事をするとき，
→ 力は小さくてすむが、移動距離は大きい
→ 要する仕事は同じ
速度の向きに力を加える続けると速度を増す
速度と反対向きに力を加え続けると減速する
力をある距離だけ加え続ける＝仕事をする
仕事の分だけ変化する量＝運動エネルギー
1/3mg
１：３
Lsin
3
1
v0
F
F
v

mg sin
mg
mg
W = mg Lsin
重力のする仕事と運動エネルギー
仕事と運動エネルギー
• 一定の力 F 〔N〕でt 秒間加速後の速度v〔m/s〕
v0
• 加速度a=F/m
F
F
v=at+v0より
s〔m〕
v
• 物体が重力で落下している
h 1からh 2までの間に物体が重力によって
された仕事＝位置エネルギーの差
仕事＝m g（h 1－h 2）
＝運動エネルギーの増加
移動距離と加速度の関係に代入して
h1
v1
h 1－h 2
h2
v2
• 物体がされた仕事＝運動エネルギー増加
力学的エネルギー保存の法則
力学的エネルギー保存
v1
元の位置
エネルギー
元の運動エ
ネルギー
落下後の位置落下後の運動
エネルギー
エネルギー
• 力学的エネルギー
＝ (重力の位置エネルギー) ＋(運動エネルギー)
＝一定
• 重力のみが働く落下運動（自由落下，斜面）の途中におい
て力学的エネルギーは常に一定
v2
h2
h1
下り坂：位置エネルギーが減る→運動エネルギーが増す
上り坂：位置エネルギーが増す→運動エネルギーが減る
6
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問23 力学的エネルギーの保存
問23 力学的エネルギーの保存
図のような抵抗などは無視できるジェットコースターがある．
A地点：
運動エネルギー＝
位置エネルギー＝
A地点での重力による
位置エネルギーを
０とする
Ａ地点を速さv0〔m/s〕でスタートし，高さH〔m〕のＢ地点を乗
り越えるのに必要な速さを力学的エネルギーの保存則から
B
求める．ジェットコースターの質量をmとすると，A地点での
C
H/2
H
運動エネルギーは
D
A
1 2
mv0 である．B地点での速度を0とし
2
て，B地点での運動エネルギーは 0
，位置エネルギー
は mgH である．
Ｂ地点：
運動エネルギー＝ 0
位置エネルギー＝ mgH
問23 力学的エネルギーの保存
1
m  02  0
2
mgH
1 2
mv0
2
mg  0  0
B
問23 力学的エネルギーの保存
力学的エネルギーの保存則から，A地点での速さv0をg，H
1 2
mvC
2 H
mg
2
で表すと 2 gH である．また，同様に考えるとA地点から
H/ 2 だけ高いＣ地点での速さは
H
D
A
1 2
mv0  0  mgH  0
2
v0  ?
1 2
H
mvC  mg  mgH
2
2
vC  ?
gH
でありA地点で
1
の速さの
倍である．また，D地点に達したときの速さ
2
C
H/2
は v0 である．
7

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