第１編－ 3 章 仕事と力学的エネルギー No.06 力学的エネルギー保存則で詳しく式を作る・・・（重力加速度はｇとする） 0 1 mv2 2 0 1 mv2 2 mgh 0 mgh 0 1 kx2 2 式 式 式 0 + mgh ＝ 1 mv2 2 0 + mgh ＝ 1 mv2 2 1 mv2 2 0 0+ 1 kx2 2 0 ＝ 1 mv2 2 +0 +0 +0 さあ、どんどん問題をやって実力をつけよう。一問一問難しいが、じっくりと取り組もう。 例題 17 例題 17 力学的エネルギー保存則 1 図のように，小球が点 A から静かに出発し，なめらかな曲面にそって，B → C とすべるとする。このとき， 小球が点 B と点 C を通過するときの速さ vB，vC〔m/s〕を求めよ。重力加速度の大きさを g〔m/s2〕とする。 ＜ヒント＞ ・エネルギーは保存しているようである。 vC ・小球の質量を m〔kg〕，点 B の高さを重力による 位置エネルギーの基準水平面として考えよう。 vB まず、エネルギーを調べてみよう。 運動エネルギー Ａ Ｂ Ｃ 位置エネルギー ０ １ 2 １ 2 mvB2 mvC2 エネルギー合計 mgh mgh １ ０ mg・ 2 h 2 １ 2 mvC2 + mg・ 点 A と点 B の間での力学的エネルギー保存則より 1 mgh ＝ mvB2 2 よって、 vB ＝ 2gh〔m/s〕 点 A と点 C の間での力学的エネルギー保存則より h 1 mgh ＝ mvC2 ＋ mg・ 2 2 よって、vC ＝ gh〔m/s〕 mvB2 h 2 類題 17 長さ l〔m〕の軽い糸におもりをつけた振り子がある。図のように，糸が鉛直方向と 60° をなす点 A から， おもりを静かにはなす。このとき，おもりが図の点 B と点 C を通過するときの速さ vB，vC〔m/s〕を求めよ。 重力加速度の大きさを g〔m/s2〕とする。 ＜ヒント＞ ・エネルギーは保存しているようである。 ・小球の質量を m〔kg〕 ，点 B の高さを重力による 2 位置エネルギーの基準水平面として考えよう。 ・位置エネルギーの計算に必要な「高さ」は よく図を見て考えよう。 4 5 2 5 まず、エネルギーを調べてみよう ( 表は自分で書くこと） 。 位置エネルギー 運動エネルギー Ｂ １ 2 Ｃ mg・ ０ Ａ １ 2 エネルギー合計 2 mg・ １ ０ mvB2 mvC2 2 mg・ １ 5 2 ＡとＢでのエネルギー保存より・・・ mg・ １ mvB2 ＝ 2 2 vB ＝ g (m/s) Ａと C でのエネルギー保存より・・・ mg・ 2 ＝ vC ＝ １ 2 mvC2 + mg・ 3g 5 (m/s) 5 2 mvB2 mvC2 + mg・ 5 例題 18 図のように，水平でなめらかな床上で，ばね定数 25N/m のばねの一端を固定し，他端に質量 1.0kg の 物体をつけて置く。物体に力を加えてばねが 0.50m 伸びた位置で静かに手をはなす。 （1）ばねが自然の長さになったときの物体の速さ v1〔m/s〕を求めよ。 （2）ばねの縮みが 0.30m になったときの物体の速さ v2〔m/s〕を求めよ。 点 A～C を図のように定めると， 各点を通るときの物体の力学的エネルギーは表のようになる。 （1）点 A と点 B の間での力学的エネルギー保存則より 1 1 m × 02 ＋ k × 0.502 2 2 1 1 ＝ mv12 ＋ k × 02 2 2 1 1 k × 0.502 ＝ mv12 2 2 よって v1 ＝ 0.50 k/m ＝ 0.50 25/1.0 ＝ 2.5m/s （2）点 A と点 C の間での力学的エネルギー保存則より 1 1 1 1 m × 02 ＋ k × 0.502 ＝ mv22 ＋ k × 0.302 2 2 2 2 1 1 2 2 2 k（0.50 － 0.30 ）＝ mv2 2 2 よって v2 ＝ 0.16 × k/m ＝ 0.40 25/1.0 ＝ 2.0m/s
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