vmp

2.11 運動量 (p61)
2.11 運動量 (p61)
運動している物体を止めるのに大きい力が必要なの
は（激しい運動）
運動の激しさ（勢い）を表す
衝突
気体分子・飛び降り・車の衝突・彗星の衝突・
銀河・放射線と原子
分裂
投擲・大砲・ロケット
• 速く動く物体
• 重い物体
• 急に止める
（速度）
（質量）
（時間）
運動量＝質量×速度
→


p  mv
大きさ：mv，向き：速度と同じ
単位： kg・m/s
2.11.1 運動量の変化と力積
 質量 m の物体に一定の力 F を加えて t
秒間加速したときの運動量変化を考える
Δt 秒間の速度変化
at  at2  at1  v 2  v1
F
a
m
F
t  v 2  v 1
m
2.11.1 運動量の変化と力積
 t 2  t1
運動の法則
p2  mv 2
v1
F
v2
t1
F
力×作用した時間
＝力の作用後の運動量－力の作用前の運動量
＝運動量の変化
Ft  mv 2  mv1  p 2  p1
p1  mv1
Ft  mv 2  mv1  p 2  p1  p
t2
問 2-38
 Ft ：力×作用した時間＝力積〔N･s〕
運動量の変化は力積に等しい
F t  p
補充問題
速度20m/sで走る質量1500kgの車が壁に衝突し、衝突
運動量は物体の質量 × 速度で表されるベクトル量
後の速度が-4.0m/sになった．この衝突が0.20秒間続
である．物体に力がはたらいたときの運動量変化は
いたとすると、衝突による力積は 3.6  10 4 kg・m/s
力積に等しい。ここで，
力積＝物体に加えられた力 × 力の作用した時間で
ある．
であり、車に作用する平均の力は 1.8  10
5
Nである．
衝突前の運動量： p1  1500  20  3.0  10
4
衝突後の運動量： p2  1500   4.0  0.60  104
力積 I は運動量変化に等しいから
I  p  p2  p1   0.60  10 4  3.0  10 4  3.6  10 4
車に作用する平均の力： F 
p
t

3.6  10 4
 1.8  10 5
0.20
1
問 2-40
吹き矢の実験
10 m/s で走る 1000kg の車の持つ運動量は
10000（1.0×104）〔kg･m/s〕である．この車に後ろ向
きに 400 N の力を 10 秒間はたらかせたとき，速度は
6.0 〔m/s〕である．車を静止させるにはさらに
15
 吹き矢の筒の長さと飛行距離の関係
筒が長い → 矢が力を受ける時間が長い
→ 受ける力積が大きい
秒間この力を加え続けなければならない．
ヒント： mv 
運動量小
速度小

F t m v
 mv  Ft
1000  v   1000  10  400  10
1000  v   10000  4000  6000  v   6.0 m/s

F t
1000  0  1000  6.0  400  t
400t  6000  t  15 s

mv
運動量大
速度大
問 2-41
物体に加わる力
ボールを受け止める
• 力を弱くしたい → 力をはたらかせる時間を長く
する
• 力がはたらく時間が短い → 力が大きい
床に物を落としたとき（エアバッグ）
物体の運動量の変化と物体の受ける力積の関



係は F t  mv  mv 0である．一定の大きさの
力積を受けるとき，足を曲げることで足が地面
に付いてから止まるまでの時間Δt を長くでき
るため，同じ力積を及ぼすために足にかかる力
F は，膝を曲げないで着地するときより小さい．
• 固い床：力がはたらく時間は短い→力は大→破壊
野球やゴルフのボールを遠くへ飛ばす
• 大きい速度（大きい運動量）→ 大きい力積
→ 大きい力を長時間加える
• ボールとバットの接触時間を長くする
2.11.2 運動量の保存 (p64)
互いの物体には同じ大きさで反対向きの力がは
たらく（作用反作用の法則）
→ 同じ大きさで反対向きの力積がはたらく
互いの運動量変化は同じ大きさで反対向き
→ 両物体の運動量の和は変わらない
体の運動量
足が受ける力積
-mv0
FΔt
2.11.2 運動量の保存 (p64)
衝突前の速度を
衝突後の速度を
v1 , v 2
v1 , v 2
m1v1  m1v1  Ft
m 2v 2  m 2v 2  Ft
力積の部分を消去して
衝突
Ft
力積
運動量減る
Ft
同じ大きさで互いに反
対向きの力積
m1 v1 m 2 v 2
 Ft
m1v1  m 2v 2  m1v1  m 2v 2
 Ft
v1
v 2
衝突の前後で運動量の和が変化しない
運動量増す
→
運動量が保存される
2
2.11.3 反発係数
弾性衝突での運動量の保存
反発係数 e（跳ね返りの仕方を表わす係数）
衝突後の速度差
v   v1
e
 2
（0≦e≦1）
衝突前の速度差
v 2  v1
v1
v1
v2
v 2
mv1  m  0  mv1  mv 2
v1
2
v 2 
v1
2
• 運動量保存の式（上向きの速度を正にとる）
3mv   mv   3mv1  mv 2
• 反発係数の式
m
２式から
反発係数や質量が違っても衝突において運動量は
必ず保存される
実験（分裂での運動量の保存）
質量の同じ２台の台車を並べておき，バネで他方を
押したとき，２つの台車の速度はどうなるか？
v 2
m
v 2
v
を求めると， v
v 2  2v
m
v1
3m
実験（分裂での運動量の保存）
片方の台車におもりを載せ，重さを２倍にしたら，
速度はどうなるか？
v1  2v 2
v1  v 2
v1
v 2
v 2  v1
v v
m  0  2m  0  mv1  2mv 2
m  0  m  0  mv1  mv 2
m
v2'
m
1 
v2'
m
v 2  v1
すっ飛びボール（衝突後の速度の方が速い）
衝突後合体させると，衝突後の速度はどうなるか？
v1
v1  0
m
完全非弾性衝突での運動量の保存
v1 
v 2  v1
0  v1
v1
• 反発係数＝0（完全非弾性衝突）
衝突後の速度差＝0
衝突後合体，跳ね返らない
v 2  v1
0  v1
mv1  m  0  mv1  mv 2
1 
• 反発係数＝1（弾性衝突）
衝突後の速度差＝衝突前の速度差
壁に当たったと同じ速さで跳ね返る
0
片方の台車を止めておき，片方を衝突させる．衝突
はバネを介して行われるとすると，衝突後の速度は
それぞれどうなるか？
v1
v 2
m
2m
3
問 2-42
物体の衝突において，運動量保存の法則が成り立つから，
m Av A  m Bv B  m Av A  m Bv B
反発係数から，
e
 (1)
v B  v A
vB  vA
 (2)
数値を代入して，
500  10  1000  10  500  v A  1000  v B  (3)
v   v A
0 B
 (4)
 10  10
(4)式から， v A  v B
 (5)
V  v A  v B  
(５)式を(3)式に代入して，
5000
 3.3
1500
両車とも3.3 m/sで動く
2.12.1 角運動量 (p66)
角運動量 L ：運動量のモーメント
半径 r の円を速度 v で回転する質量 m の
物体の角運動量
L  rmv
角運動量は一定（大きさも向きも変わらない）
ジャイロ（ロケットの姿勢制御）
原子核の周りの電子
フィギュアスケート
腕を縮めると回転が速くなる
角運動量一定→回転半径を縮める→回転速度大きくなる
力F
運動量変化と力積の関係
r
mv  mv 0  Ft
mv
の両辺に r を掛けて
rmv  rmv 0  rFt
L  L 0  rF  t
力のモーメント
（力のモーメント)×(作用した時間）だけ角運
動量の向きや大きさが変化
角運動量の保存
惑星や月の運動
L  rmv
問 2-44
角運動量は回転運動している物体の
回転半径 ×
運動量
で表される．
物体に力のモーメントが加わると角運
動量の大きさや向きが変化する．地球の
自転の角運動量の向きは，
自転軸の方向で北向きである．
アメリカンフットボールのパス
ボールに回転を与えて投げる→回転軸の向き一定
4

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