ジョルダン標準形

ジョルダン標準形
K = R または K = C とする．行列の成分，ベクトルの成分，固有値はすべて K の元
とする．A は n 次行列で，その特性多項式 FA (t) は K において
FA (t) = (t − λ1 )m1 (t − λ2 )m2 · · · (t − λr )mr
(1)
のように 1 次式の積に因数分解されるものとする．λ1 , λ2 , . . . , λr は異なる K の元であり，
m1 + m2 + · · · + mr = n である．
補題 1 t を変数とする多項式 p1 (t), . . . , pk (t) の最大公約因子が 1 であれば，
h1 (t)p1 (t) + · · · + hk (t)pk (t) = 1
を満たす多項式 h1 (t), . . . , hk (t) が存在する．
証明 h1 (t)p1 (t) + · · · + hk (t)pk (t) (hi (t) は t の多項式) の形の多項式全部の集合を X
とおく．X に含まれる 0 でない多項式のうち，次数が最小のものを g(t) とおく．f (t) ∈ X
をとり，f (t) を g(t) で割ったときの商を q(t), 余りを r(t) とする．f (t) = q(t)g(t) + r(t)
で r(t) の次数は g(t) の次数より真に小さい．f (t), g(t) ∈ X だから，r(t) = f (t) − q(t)g(t)
も X に含まれる．よって，g(t) のとり方により r(t) = 0 である．以上により，f (t) ∈ X
であれば f (t) は g(t) で割り切れることがわかった．
i = 1, . . . , k について pi (t) ∈ X だから，これらはすべて g(t) で割り切れるが，仮定に
より p1 (t), . . . , pk (t) の最大公約因子が 1 なので g(t) は 0 以外の定数である．よって，補題
1 が証明された．
A の特性多項式 FA (t) の因数分解 (1) から (t − λi )mi だけを取り除いて得られる多項式
を pi (t) とおく．
FA (t)
pi (t) =
(t − λi )mi
p1 (t), . . . , pr (t) の最大公約因子は 1 だから，補題 1 により
h1 (t)p1 (t) + · · · + hr (t)pr (t) = 1
(2)
を満たす多項式 h1 (t), . . . , hr (t) が存在する．
hi (t)pi (t) の t に A を代入して得られる n 次行列を Pi とおく．Pi = hi (A)pi (A)
補題 2 P1 , . . . , Pr について，次のことが成り立つ．
(i) P1 + P2 + · · · + Pr = En
(ii) Pi 2 = Pi
(iii) Pi Pj = O
(i = 1, . . . , r)
(i ̸= j)
証明 (2) において t に A を代入すると，(i) が得られる．i ̸= j ならば pi (t)pj (t) は A
の特性多項式 FA (t) で割り切れる．pi (t)pj (t) = q(t)FA (t) とする．t に A を代入すると，
Cayley–Hamilton の定理により FA (A) = O だから，pi (A)pj (A) = O となり (iii) が成り立
つ．(i) の両辺に Pi をかけて (iii) を用いると，(ii) が得られる．
1
Ui = {Pi x | x ∈ K n } (i = 1, . . . , r) とおく．補題 1 により，K n は U1 , . . . , Ur の直和で
あることがわかる．
K n = U1 ⊕ · · · ⊕ Ur
(3)
すなわち，任意の x ∈ K n は x = u1 + · · · + ur (ui ∈ Ui ) の形に一意的に表せる．
実際，補題 1 の (i) により x = En x = P1 x + · · · + Pr x である．また，x = u′1 + · · · + u′r
(u′i ∈ Ui ) とも表せるとすると，
(u1 − u′1 ) + · · · + (ur − u′r ) = 0
であるが，この両辺に左から Pi をかけると，補題 1 の (ii) と (iii) により ui − u′i = 0 とな
るので，ui = u′i (i = 1, . . . , r) が成り立つ．
K n = U1 ⊕ · · · ⊕ Ur なので，Ui (i = 1, . . . , r) の基底を構成するベクトルを合わせた
ものは K n の基底になる．よって，次元の和について次が成り立つ．
n = dim U1 + · · · + dim Ur
(4)
注意 Pi を，K n から Ui への射影 (projection) という．
行列 A の固有値 λ に対する固有空間 V (λ) = {x ∈ K n | Ax = λx} は，(A − λEn )x = 0
を満たす x ∈ K n 全部の集合に等しい．V (λ) = {x ∈ K n | (A − λEn )x = 0}．
0 ̸= x ∈ K n について，(A − λEn )k x = 0 を満たす正の整数 k が存在するとき，x を固
有値 λ に属する広義固有ベクトル (generalized eigenvector) という．λ に属する広義固有ベ
クトル全部の集合に零ベクトル 0 を付け加えた集合を Ve (λ) で表す．これは K n の部分空間
で，V (λ) ⊂ Ve (λ) である．Ve (λ) を，行列 A の固有値 λ に対する広義固有空間 (generalized
eigenspace) という．
(A − λEn )k x = 0 ならば，(A − λEn )k Ax = A(A − λEn )k x = 0 となる．よって，
x ∈ Ve (λ) ならば Ax ∈ Ve (λ) であることに注意する．
K n の部分空間 U が “ x ∈ U ならば Ax ∈ U である” という条件を満たすとき，U を
A に関して不変な部分空間，あるいは A-不変な部分空間という．広義固有空間は A-不変
な部分空間である．
U を r 次元の A-不変な部分空間とする．U の基底 {u1 , . . . , ur } に ur+1 , . . . , un ∈ K n を
付け加えて K n の基底 {u1 , . . . , un } を作る．第 j 列が uj である
∑r n 次行列を P = (u1 . . . un )
とする．U は A-不変だから，1 ≤ j ≤ r ならば Auj = i=1 bij u(
i となる
)bij ∈ K が存在
B C
する．bij を (i, j) 成分とする r 次行列を B とおくと，AP = P
となるような
O D
r × (n − r) 行列 C と n − r 次行列 D が存在する．左下の
O は n − r 行 r 列の零行列であ
(
)
B C
る．左から P −1 をかけると P −1 AP =
となる．
O D
定理 (広義固有空間による直和分解) n 次行列 A の特性多項式が (1) の形に因数分解
されるとする．このとき，次が成り立つ．
(i) K n = Ve (λ1 ) ⊕ · · · ⊕ Ve (λr )，すなわち K n は広義固有空間 Ve (λi ) (i = 1, . . . , r) の直
和である．
(ii) Ve (λi ) = {x ∈ K n | (A − λi En )mi x = 0} (i = 1, . . . , r)．
(iii) Ve (λi ) = {Pi x | x ∈ K n } (i = 1, . . . , r)．
2
(iv) dim Ve (λi ) = mi (i = 1, . . . , r)，すなわち Ve (λi ) の次元は固有値 λi の重複度 mi に
一致する．
証明 Wi = {x ∈ K n | (A − λEn )mi x = 0} とおく．Ve (λi ) の定義から Wi ⊂ Ve (λi ) であ
る．Ui = {Pi x | x ∈ K n } とおく．(t − λi )mi pi (t) = FA (t) であり，Cayley–Hamilton の定
理により FA (A) = O だから，t に A を代入すると (A − λi En )mi pi (A) = O となる．これ
により，(A − λi En )mi Pi = O なので，Ui ⊂ Wi である．
次に，dim Ve (λi ) = mi であることを示す．i = 1 の場合を考えればよい．dim Ve (λ1 ) = s
とおき，{v 1 , . . . , v s } を Ve (λ1 ) の基底とする．これに v s+1 , . . . , v n を付け加えて，{v 1 , . . . , v n }
が K n の基底であるようにする．第 j 列が v j である n 次行列 Q = (v 1 . . . v n ) を考える．
∑
1 ≤ j ≤ s については Av j ∈ Ve (λ1 ) だから，Av j = si=1 bij v i となる bij ∈ K が存在する．
bij を (i, j) 成分とする s 次行列を B とおくと，
(
)
B ∗
AQ = Q
O C
が成り立つような n − s 次行列 C が存在する．左下の O は n − s 行 s 列の零行列で，右上
の ∗ は s × (n − s) 行列である．Q−1 を左からかけると，次のようになる．
(
)
B ∗
−1
Q AQ =
(5)
O C
v j ∈ Ve (λ1 ) (j = 1, . . . , s) だから，(A−λ1 En )kj v j = 0 を満たす正の整数 kj が存在する．
k1 , . . . , ks の中で最大のものを k とすれば，すべての v ∈ Ve (λ1 ) に対して (A−λ1 En )k v j = 0
となる．これは，
)
(
O ∗
−1
k
(6)
Q (A − λ1 En ) Q =
O ∗
であることを意味する．ただし，左上の O は s 次零行列で，左下の O は n − s 行 s 列の零
行列である．
一方 (5) より，Q−1 AQ − λ1 En の k 個の積は
(
)
(B − λ1 Es )k
∗
−1
k
(Q AQ − λ1 En ) =
(7)
O
(C − λ1 En−s )k
である．Q−1 (A − λ1 En )k Q = (Q−1 (A − λ1 En )Q)k と Q−1 (A − λ1 En )Q = Q−1 AQ − λ1 En
より，(6) の左辺と (7) の左辺は一致する．よって，(6) と (7) の右辺を比較して，
(B − λ1 Es )k = O
がわかる．すなわち，B − λ1 Es はベキ零行列である．特に，B − λ1 Es の固有値は 0 だけ
である．よって，B の固有値は λ1 だけで，B の特性多項式は FB (t) = (t − λ1 )s である．
(5) により，特性多項式について FQ−1 AQ (t) = FB (t)FC (t) が成り立つことに注意する．
FQ−1 AQ (t) = FA (t) だから，A の特性多項式が (1) の形であることから，s ≤ m1 がわかる．
以上により，dim Ve (λ1 ) ≤ m1 がわかった．この議論から，λ1 だけでなく i = 1, . . . , r に
ついて dim Ve (λi ) ≤ mi であるであることがわかる．
Ui ⊂ Wi ⊂ Ve (λi ) で m1 + · · · + mr = n なので，(3) と (4) から，Ui = Wi = Ve (λi ) で
あること，および定理の (i), (ii), (iii), (iv) がすべてが成り立つことがわかる．
3
次の形の m 次行列をジョルダン・ブロック (Jordan block) という．


λ 1
 λ 1



..


.
λ
J(λ, m) = 



..

. 1
λ
(8)
書いていない成分は 0 である．J(λ, m) の特性多項式は FJ(λ,m) (t) = (t − λ)m である．
補題 3 A を n 次ベキ零行列とし，Ak = O (零行列) かつ Ak−1 ̸= O となるように正の
整数 k を定める．Ak−1 v ̸= 0 となる v ∈ K n をひとつとる．このとき，次のことが成り
立つ．
(i) v, Av, . . . , Ak−1 v は線型独立である．
(ii) U = span{v, Av, . . . , Ak−1 v} とおくと，K n = U ⊕ W を満たす A-不変な部分空間
W が存在する．
証明 c0 v + c1 Av + · · · + ck−1 Ak−1 v = 0 (ci ∈ K) とする．Ak = O だから，この両辺
に左から Ak−1 をかけると c0 Ak−1 v = 0 となるので，Ak−1 v ̸= 0 より c0 = 0 である．次に
左から Ak−2 をかけると c1 = 0 がわかる．同様にして c0 = c1 = · · · = ck−1 = 0 がわかる
ので，(i) が成り立つ．
(ii) は k に関する帰納法で証明する．k = 1 ならば A = O だから，(ii) は成り立つ．k −1
のとき (ii) が成り立つと仮定する．V1 = {Ax | x ∈ K n } とし，v 1 = Av ∈ V1 とおく．す
べての x ∈ V1 に対して Ak−1 x = 0 であり，Ak−2 v 1 ̸= 0 である．U1 = {Au | u ∈ U } とす
ると，U1 = span{v 1 , Av 1 , . . . , Ak−2 v 1 } だから，帰納法の仮定により V1 = U1 ⊕ W1 を満た
す A-不変な部分空間 W1 が存在する．(i) により，{v, Av, . . . , Ak−1 v} は U の基底であり，
{v 1 , Av 1 , . . . , Ak−2 v 1 } は U1 の基底である．Ak−1 v ̸= 0 だから v ̸∈ V1 なので，U ∩ V1 = U1
がわかる．特に，U ∩ W1 = {0} である．
W0 = {x ∈ K n | Ax ∈ W1 } とおく．x ∈ K n ならば，Ax ∈ U1 ⊕ W1 だから，Ax =
u1 + w1 (u1 ∈ U1 , w1 ∈ W1 ) と書くことができる．U1 = {Au | u ∈ U } だから，u1 に
対して u1 = Au となる u ∈ U が存在する．このとき，A(x − u) = w1 ∈ W1 だから，
x − u ∈ W0 である．以上により，K n = U + W0 がわかった．
U ∩W1 = {0} より (U ∩W0 )∩W1 = {0} なので，U ∩W0 と W1 の和は直和 (U ∩W0 )⊕W1
である．W1 は A-不変だから W1 ⊂ W0 である．(U ∩ W0 ) ⊕ W1 の基底にいくつかのベク
トルを付け加えて W0 の基底を作る．このとき付け加えるベクトル全部で張られる部分空
間を W2 とすると，W0 = (U ∩ W0 ) ⊕ W1 ⊕ W2 となる．
W = W1 ⊕ W2 とおくと，K n = U ⊕ W である．w ∈ W ならば Aw ∈ W1 ⊂ W とな
るので，W は A-不変である．よって，(ii) が成り立つことがわかった．
補題 3 において W ̸= {0} の場合は，すべての x ∈ W に対して Al x = 0 となるような
正の整数 l のうち最小のものを考える．l のとり方により，Al−1 w ̸= 0 となる w ∈ W が存
在する．w, Aw, . . . , Al−1 w に対して補題 3 と同様の議論をする．これを繰り返して，次
の補題が得られる．
4
補題 4 n 次ベキ零行列 A に対して，v 1 , . . . , v s ∈ K n と正の整数 k1 , . . . , ks で，
v 1 , Av 1 ,
v 2 , Av 2 ,
···
v s , Av s ,
. . . , Ak1 −1 v 1
. . . , Ak2 −1 v 2
···
. . . , Aks −1 v s
(9)
が K n の基底となるものが存在する．Akj v j = 0 (j = 1, . . . , s) で，k1 + · · · + ks = n であ
る．(kj = 1 の可能性もあることに注意する．)
補題 5 n 次ベキ零行列 A に対して，Wi = {x ∈ K n | Ai x = 0} (i = 1, 2, . . .) とおき，
Wi の次元を di とする．di = dim Wi ．Wi ⊂ Wi+1 である．補題 4 の記号で，kj − i ≥ 0 を
満たす j = 1, . . . , s の個数を bi とおく (i = 1, . . . , l)．ここで，l は k1 , . . . , ks のうち最大の
ものを表す．したがって，Al = O, Al−1 ̸= O であり，dl = n である．このとき，次が成
り立つ．
d 1 = b1 ,
d2 = b 1 + b 2 , . . . , d l = b 1 + b 2 + · · · + b l
実際，{Ak1 −1 v 1 , Ak2 −1 v 2 , . . . , Aks −1 v s } は W1 の基底なので，d1 = s である．一方 kj ≥ 1
はすべての j について成り立つので，b1 = s である．よって，d1 = b1 がわかる．W2 の基
底は，W1 の基底に kj − 2 ≥ 0 を満たす j = 1, . . . , s についての Akj −2 v j をすべて付け加
えたものだから，d2 = b1 + b2 である．同様にして，di = b1 + · · · + bi が成り立つことが
わかる．
di = dim Wi (i = 1, . . . , l) はベキ零行列 A により定まるので，補題 5 により bi (i =
1, . . . , l) も A により定まる．bi の定義から，bi (i = 1, . . . , l) が定まれば kj (j = 1, . . . , s)
の組 {k1 , . . . , ks } も定まる．n 次ベキ零行列 A に対して定まる正の整数の組 {k1 , . . . , ks }
を，A の不変系という．
s = 1 で k1 = n の場合は，{v, Av, . . . , An−1 v} が K n の基底になるようなベクトル v ∈
K が存在する．第 j 列が An−j v (j = 1, . . . , n) である n 次行列を P = (An−1 v, . . . , Av, v)
とすると，AP = J(0, n)P が成り立つので，P −1 AP = J(0, n) となる．
一般の場合は，補題 4 の K n の基底 (9) を
n
Ak1 −1 v 1 , . . . ,
Ak2 −1 v 2 , . . . ,
···
ks −1
A
vs, . . . ,
Av 1 , v 1
Av 2 , v 2
···
Av s , v s
のように並べかえて，これらを列ベクトルとする n 次行列を P とおくと，


J(0, k1 )
O
···
O
 O
J(0, k2 ) · · ·
O 


−1
P AP =  ..
..
.. 
.
.
 .
.
.
. 
O
O
· · · J(0, ks )
(10)
(11)
となる．ベキ零行列に関する標準形は以上である．
次に，一般の n 次行列 A を考える．A の特性多項式 (1) で r = 1 の場合，すなわち
(A − λEn )n = O となる場合は，N = A − λEn はベキ零行列だから，P −1 N P が (11) の形
5
になるような n 次正則行列 P が存在する．P −1 N P = P −1 AP − λEn だから，P −1 AP =
P −1 N P + λEn は次の形である．


J(λ, k1 )
O
···
O
 O
J(λ, k2 ) · · ·
O 


−1
P AP = 
(12)

..
..
..
.
.


.
.
.
.
O
O
· · · J(λ, ks )
A の特性多項式 FA (t) が (1) のように因数分解される場合は，広義固有空間による直和
分解 K n = Ve (λ1 ) ⊕ · · · ⊕ Ve (λr ) をもとにする．各広義固有空間 Ve (λj ) (j = 1, . . . , r) にお
いて，上記の (10) ような Ve (λr ) の基底をとり，それらを合わせて K n 全体の基底を作る．
その基底を構成するベクトルを列ベクトルとする n 次行列を P とすれば，


B1 O · · · O
 O B2 · · · O 


P −1 AP =  ..
(13)
.. . .
.. 
 .
. . 
.
O O · · · Br
で，Bj (j = 1, . . . , r) は次の形である．

J(λj , kj,1 )
O
···

O
J(λj , kj,2 ) · · ·

Bj = 
..
..
...

.
.
O
O
···
O
O
..
.





J(λj , kj,sj )
(14)
kj,1 + kj,2 + · · · + kj,sj = mj は固有値 λj の重複度である．この P −1 AP を，A の Jordan
標準形 (Jordan canonical form) という．
行列 A の Jordan 標準形は，(8) の形のジョルダン・ブロック J(λ, m) が対角線上に並
ぶが，正則行列 P の列ベクトルを並べ変えることで，ジョルダン・ブロックを並べる順序
は任意に変えることができる．A の Jordan 標準形を考える際には，ジョルダン・ブロッ
クを並べる順序は問題にしない．
n 次行列 A に対して，その特性多項式 FA (t) の因数分解 (1) は一意的であり，異なる固有
値 λ1 , λ2 , . . . , λr およびその重複度 mj (j = 1, . . . , r) は A により定まる．よって，K n の広
義固有空間による直和分解 K n = Ve (λ1 ) ⊕ · · · ⊕ Ve (λr ) は A により定まる．各広義固有空間
Ve (λj ) (j = 1, . . . , r) において，mj 次ベキ零行列 Bj − λj Emj の不変系 {kj,1 , kj,2 , . . . , kj,sj }
は Bj − λj Emj により定まる．{kj,1 , kj,2 , . . . , kj,sj } は，A − λj En の Ve (λj ) における不変系
に等しい．以上の議論をまとめると，次の定理が得られる．
定理 (Jordan 標準形) n 次行列 A の特性多項式 FA (t) が K において 1 次式の積に因
数分解されるとする．そのとき，P −1 AP が Jordan 標準形になるような n 次正則行列 P
が存在する．ジョルダン・ブロックを並べる順序を除いて，A の Jordan 標準形は一意的
に定まる．(注意．正則行列 P は A に対して一意的には定まらない．)
Jordan 標準形に関する参考書
松坂和夫「線型代数入門」(岩波書店)
川久保勝夫「線形代数学」(日本評論社)
長谷川浩司「線型代数」(日本評論社)
6
問題
λ は複素数とする．また，λ1 , λ2 , . . . は異なる複素数を表すものとする．
1. 2 次行列の Jordan 標準形は次の 3 通りのいずれかであることを示せ．
(
)
(
)
(
)
λ 0
λ 1
λ1 0
,
,
0 λ
0 λ
0 λ2
2. 3 次行列の Jordan 標準形は次の 6 通りのいずれかであることを示せ．






λ 0 0
λ 0 0
λ 1 0
 0 λ 0 ,
 0 λ 1 ,
 0 λ 1 ,
0 0 λ
0 0 λ
0 0 λ


λ1 0 0
 0 λ1 0 ,
0 0 λ2


λ1 1 0
 0 λ1 0 ,
0 0 λ2


λ1 0 0
 0 λ2 0 
0 0 λ3
3. 4 次行列の Jordan 標準形は 14 通りのいずれかであることを示せ．
4. 次の行列 A の Jordan 標準形を求めよ．また，P −1 AP が Jordan 標準形になるような
正則行列 P を求めよ．




(
)
1
2
1
4 −1 −2
0
1
2
4
0
(1)
(2)  1
(3) 0 2
−1 −2
−1 −2 −3
2 −1 0


4 −1 1
(4) 3 −3 3
2 −5 5

−1
1
(5) 
0
0

0 0
0
1 1 −4

0 −1 0 
1 0 −3


2 −1 −2 2
 9 −5 −5 5

(6) 
−2 0
1 1
7 −5 −2 4
ヒント．
(i) A の特性多項式 FA (t) を本文中の (1) の形に因数分解する．
(ii) λ を A の固有値とする．連立 1 次方程式 (A−λEn )x = 0 の 0 以外の解のひとつを v 1
とする．v 1 は固有値 λ に属する固有ベクトルである．次に，連立 1 次方程式 (A−λEn )x = v 1
の解のひとつを v 2 とする．以下これを繰り返して，連立 1 次方程式 (A − λEn )x = v k−1
の解のひとつを v k とする．連立 1 次方程式 (A − λEn )x = v k の解が存在しないとき，
{v 1 , v 2 , . . . , v k } に対してジョルダン・ブロック J(λ, k) が対応する．A の固有値 λ に対す
る固有空間の次元が 2 以上の場合は，v 1 と線型独立な固有ベクトル v ′1 に対しても，v 1 の
ときと同様の連立 1 次方程式を満たすベクトルの列 v ′1 , v ′2 , . . . を求める．A のすべての固
有値に対してこのようなベクトルの列を作り，それらを列ベクトルとする n 次行列を P
とすれば，P は求める性質を満たす．
5. 本文中の (8) のジョルダン・ブロック J(λ, m) について，その n 個の積 J(λ, m)n を
計算せよ．(ヒント．S = λEm , N = J(λ, m) − S とおく．Em は m 次単位行列である．
J(λ, m) = S + N なので，SN = N S に注意して (S + N )n を計算する．)
7
解答とヒント
1. 2 次行列 A の特性多項式の因数分解は，FA (t) = (t − λ)2 と FA (t) = (t − λ1 )(t − λ2 ) の
2 通りある．FA (t) = (t − λ)2 のとき，固有値 λ に対する固有空間は 2 次元の場合と 1 次元
の場合がある．それらに対応して A の Jordan 標準形は全部で 3 通りある．
2. 3 次行列 A の特性多項式の因数分解の形で分けて考える．
(i) FA (t) = (t − λ)3 のとき，固有値 λ に対する固有空間の次元は 3, 2, 1 のいずれかで，
それに対応して Jordan 標準形は 3 通りある．
(ii) FA (t) = (t − λ1 )2 (t − λ2 ) のとき，固有値 λ1 に対する固有空間の次元は 2 または 1
で，それに対応して Jordan 標準形は 2 通りある．
(iii) FA (t) = (t − λ1 )(t − λ2 )(t − λ3 ) のとき，A は対角化可能で Jordan 標準形は１通
りである．
3. 4 次行列 A の特性多項式の因数分解の形で分けて考える．
(i) FA (t) = (t − λ)4 のとき，Jordan 標準形は 5 通りある．
(ii) FA (t) = (t − λ1 )3 (t − λ2 ) のとき，Jordan 標準形は 3 通りある．
(iii) FA (t) = (t − λ1 )2 (t − λ2 )2 のとき，Jordan 標準形は 3 通りある．
(iv) FA (t) = (t − λ1 )2 (t − λ2 )(t − λ3 ) のとき，Jordan 標準形は 2 通りある．
(v) FA (t) = (t − λ1 )(t − λ2 )(t − λ3 )(t − λ4 ) のとき，Jordan 標準形は 1 通りである．
4.
(1) P
(2) P
(3) P
(4) P
(5) P
(6) P
)
)
(
)
(
−1 1
2 1
1 −1
−1
−1
, P AP =
, P =
=
0 −1
1 1
−1 2






2 −1 0
1 1 1
0 1 0
= −1 2 −1, P −1 = 1 2 2, P −1 AP = 0 0 1
0 −1 1
1 2 3
0 0 0






1 −1 1
1 0 −1
2 0 0
= 2 0 1, P −1 = −2 1 1 , P −1 AP = 0 2 1
0 −1 1
−2 1 2
0 0 2






0 1 1
−1 2 −1
0 0 0
1 −1, P −1 AP = 0 3 1
= 1 0 1, P −1 =  0
1 −1 1
1 −1 1
0 0 3





1 0 0 −1
2 0 1 0
−1 0


0 2 1 0

0
0
0
1
−1
−1

 0 −1


=
−1 0 0 2 , P = 0 1 0 −2, P AP =  0
0
0 1 0 0
1 0 1 0
0
0





1 0 0
1
−1 1
1 −1
−1
1 1 0




2
1 −1
0
−1
−3 2
=
, P −1 AP = 
1 0 −1 −1, P = −3 2
0
1 −2
0 1 −1 0
2 −1 −1 1
0
(
8

0
0
1
0

−1 1 
0 −1

1 0 0
−1 0 0

0 2 1
0 0 2
5. S = λEm , N = J(λ, m) − S とおく．J(λ, m) = S + N である．SN = N S なので，二
項定理により
n ( )
∑
n n−k k
n
(S + N ) =
S N
k
k=0
が成り立つ．N は (i, i + 1) 成分 (1 ≤ i ≤ n − 1) が 1 で，他の成分は 0 である．N k は，
k = 0 のときは単位行列 Em で，k = 1, 2, . . . , m − 1 のときは (i, i + k) 成分 (1 ≤ i ≤ m − k)
が 1 で，他の成分は 0 である．特に N m = O (零行列) だから，k ≥ m ならば S n−k N k = O
である．S n−k = λn−k Em なので，0 ≤ k ≤ m − 1 の範囲では S n−k N k の (i, i + k) 成分
(1 ≤ i ≤ m − k) は λn−k で，他の成分は 0 である．
以上により，J(λ, m)n = (S + N )n がわかる．
9

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