数学 1D レポート課題 2 2014 11/10 (岡担当) 提出期限：11/17（月）授業中記号：∂x は実変数 x についての常微分を表すものとする。実数体を R、複素数体を C とおき、式中に出てくる未定義記号は特に指定のない限り C の一般の元とする。ただし、関数の引数は全て R の元であるとせよ。 0．復習：Jordan 標準形任意の 2 次行列 A はある正則行列 P を使って [ ] α γ P −1 AP = 0 β の形にかける。ただし、α と β は A の固有値、γ = 0 または 1。一般に、α ̸= β の時は γ = 0 に取れる（なぜか考えてみよ）。これを行列 A の Jordan 標準形 J という。α = β のように固有値が「縮退」していて、かつ 2 つの独立な固有ベクトルが取れないときは γ = 1 としないといけない。最も簡単に Jordan 標準形を求めるには、AP = P J とおいて P の縦ベクトルについて解けば良い 1 。なお、行列のトレースは基底によらないことを使うと第 1 問 (1) は簡単に求まる。 1. 定係数連立線形微分方程式 ϕ : t 7→ ϕ(t) ∈ C2 とおくとき、次の微分方程式を解け。ただし、(1) では係数行列は少なくとも 1 つの非ゼロ固有値を持つとせよ。 [ ] a b (1) ∂t ϕ(t) = ϕ(t) (ad − bc = 0) c d [ (2) ∂t ϕ(t) = [ (3) ∂t ϕ(t) = q r r∗ q ] 5 1 −1 7 ϕ(t) (r = eiθ , θ ∈ R; |q| ̸= 1) ] ϕ(t) 2. 微分方程式の級数解法（水素原子解） ∑N N +s (x ≥ 0) を仮定せよ。s, Nmax > 次の微分方程式を考える。まず、級数解 U (x) = Nmax =0 CN x 0 は自然数であるとし、x → ∞ と x = 0 で |u(x)| < ∞ を満たす「物理的な」実解を探せ。k は正の実数とせよ。また、l は自然数、W > 0 は未定の実係数とする。この時、W の値、s, Nmax の値、および CN /CN −1 (N = 1, 2, 3, ...) の一般形を求めよ。 [ ] √ √ k l(l + 1) 2 − Wx ∂x − 2 W ∂ x + − U (x) = 0; u(x) = U (x)e x x2 1 佐武一郎「線形代数学」（裳華房）