音響理論演習Iの復習

1 自由振動(単振動)
1.1 振動方程式
x
k
m
m㸸㉁㔞>NJ@
k㸸ࣂࢿᐃᩘ>1P@
x㸸ኚ఩>P@
m
d2x
= −kx
dt 2
k/m = ω 0 2 とおくと，
€
振動方程式：
d2x
+ ω02 x = 0
dt 2
1.2 振動方程式の一般解(単振動，調和振動)
€
A 形式での一般解：
x = A cos(ω0t + φ )
B 形式での一般解： x = Bp cos ω0t + Bq sin ω0t
D 形式での一般解： x = Re[ De jω 0 t ]
€
A, φ , B p , B q , €
D：任意定数（初期条件で決まる）
A：変位の振幅[m]
€
φ ：初期位相角[rad]
ω 0 ：固有角振動数[1/s]
f0 =
ω0
：固有振動数[Hz]
2π
€
-1-
1.3 振動エネルギ
2
1  dx 
運動エネルギ： T = m 
2  dt 
位置エネルギ： V =
1 2
kx
2
[J]
[J]
2
€
1  dx  1 2
全エネルギ： W = T +V = m  + kx
[J]
2  dt  2
€
A 形式での一般解を用いて表すと，
1
1
2
2
W = m{−Aω0 sin(ω0t + φ )} + k{ A cos(ω0t + φ )}
2€
2
1
1
= kA2 sin 2 (ω0t + φ ) + kA 2 cos2 (ω0t + φ )
2
2
1
1
= kA2 = mω02 A 2
2
2
→ 時間によらない，固有角振動数によらない，初期位相角によら
ない，変位の振幅の 2 乗に比例する
€
2 減衰振動
2.1 減衰振動方程式
x
k
m㸸㉁㔞>NJ@
k㸸ࣂࢿᐃᩘ>1P@
b㸸᢬ᢠಀᩘ>1͌VP@
x㸸ኚ఩>P@
m
b
m
d2x
dx
= −kx − b
2
dt
dt
k/m = ω 0 2 ，b/m = 2 γ とおくと，
€
減衰振動方程式：
d2x
dx
+ 2γ + ω02 x = 0
2
dt
dt
€
-2-
2.2 減衰振動方程式の一般解(減衰が弱い場合)
A 形式での一般解： x = Ae−γt cos(ω f t + φ )
B 形式での一般解： x = e−γt ( Bp cos ω f t + Bq sin ω f t )
€
j jγ +ω t
jω t
D 形式での一般解： x = Re De ( f ) = e−γt Re De f
€
[
2
0
2
ただし， ω f = ω − γ = ω0
€
]
 γ 2
1−  
 ω0 
ω02 − γ 2 > 0 ，すなわち， γ < ω0 を仮定
€
[
]
とおき，
→
減衰が弱い場合
ω f ：減衰固有角振動数[1/s]（ ω 0 より少し小さい）
€
2 γ ：制動係数（パワの半値幅）[1/s]
€
τ = 1/ γ ：減衰率（時定数）[s]
→ 振幅が 1/e となるまでの
時間
2.3 振動エネルギ（減衰振動の場合）
2
1  dx  1 2
全エネルギ： W = T +V = m  + kx
2  dt  2
A 形式での一般解を用いて表すと，
2
1
W = m −Ae−γt {γ cos(ω f t + φ ) + ω f sin(ω f t + φ )}
2€
2
1
+ k{ Ae−γt cos(ω f t + φ )}
2
1
= mA 2 e−2γt {γ 2 cos(2ω f t + 2φ ) + γω f sin(2ω f t + 2φ ) + ω02 }
2
→ W は時間 t の関数となる
[
]
そこで，1 周期(T f = 2 π / ω f )で時間平均をとると，
€
1
1
1
W =
W (t)dt = mA 2ω02 e−2γt = kA 2 e−2γt
∫
T f Tf
2
2
€
-3-
2.4 Q 値（減衰の弱さを表す度合）
Q 値：Q = ω 0 /(2 γ ) = ω 0 τ /2
→
Q が大きい
＝
＝
減衰が弱い
時定数が大きい
2.5 減衰が強い場合（ γ < ω 0 が成り立たない場合）
2.5.1 ω02 − γ 2 < 0 ，すなわち， γ > ω0 のときの一般解
x = C1e(−γ −ω h ) t + C2 e(−γ +ω h ) t
2
γ 
ただし， ωh =€ γ 2 − ω02 = ω0   −1
 ω0 
€
€
C 1 , C 2 ：任意定数（実数，初期条件で決まる）
€
2.5.2 ω02 − γ 2 = 0 ，すなわち， γ = ω0 のときの一般解
x = (C1t + C2 )e−ω 0 t
→
€
臨界減衰の状態という
€
€
-4-
3 強制振動
3.1 強制振動方程式
x
k
m
m㸸㉁㔞>NJ@
k㸸ࣂࢿᐃᩘ>1P@
b㸸᢬ᢠಀᩘ>1͌VP@
x㸸ኚ఩>P@
Fcosωt
b
F㸸ຍ᣺ຊࡢ᣺ᖜ>1@
ω㸸ຍ᣺ຊࡢゅ࿘Ἴᩘ>V@
m
d2x
dx
= −kx − b + F cos ωt
2
dt
dt
k/m = ω 0 2 ，b/m = 2 γ とおくと，
€
強制振動方程式：
d2x
dx
F
+ 2γ + ω02 x = cos ωt
2
dt
dt
m
3.2 強制振動方程式の定常解
€
A 形式での定常解：
x = A cos(ωt + φ ) =
ただし， cos φ =
€
F
m
1
(ω
2
0
−ω
2 2
)
+ 4γ 2ω 2
ω02 − ω 2
(ω
2
0
−ω
2 2
)
cos(ωt + φ )
, sin φ =
+ 4γ 2ω 2
D 形式での定常解：
F

1
jωt
x€= Re[ De jωt ] = Re ⋅ 2
e

2
 m ω0 − ω + j2γω

€
-5-
−2γω
(ω
2
0
2
− ω 2 ) + 4γ 2ω 2
3.3 定常状態における変位振幅・速度振幅・加速度振幅
変位振幅： A =
F
m
ただし， H (ω ) =
€
速度振幅： ωA =
€
1
(ω
2
0
−ω
2 2
)
+ 4γ 2ω 2
2γω
2
(ω02 − ω 2 ) + 4γ 2ω 2
=
F
H (ω )
bω
(= −sin φ )
F
H (ω )
b
加速度振幅： ω 2 A =
Fω
H (ω )
b
€
A
€
ω0ࡼࡾᑡࡋప࠸࡜ࡇࢁ࡛ࣆ࣮ࢡ
QF/k
ኚ఩᣺ᖜ
F/k
0
ωA
࡟㏆௜ࡃ
ω0
ω
ω0࡛ࣆ࣮ࢡ
F/b
㏿ᗘ᣺ᖜ
࡟㏆௜ࡃ
0
ω2A
ω
ω0
ω0ࡼࡾᑡࡋ㧗࠸࡜ࡇࢁ࡛ࣆ࣮ࢡ
QF/m
ຍ㏿ᗘ᣺ᖜ
F/m࡟㏆௜ࡃ
F/m
0
ω
ω0
-6-
φ
0
ω0
ω
−π/2
-π࡟㏆௜ࡃ
−π
→
Q 値は，変位振幅（A）または加速度振幅（ ω 2 A）のピーク値の
増幅率を表している
A
4ࡀ኱ࡁ࠸ῶ⾶ࡀᑠࡉ࠸
4ࡀᑠࡉ࠸ῶ⾶ࡀ኱ࡁ࠸
F/k
0
ω0
ω
ω0
ω
φ
0
−π/2
4ࡀ኱ࡁ࠸ῶ⾶ࡀᑠࡉ࠸
4ࡀᑠࡉ࠸ῶ⾶ࡀ኱ࡁ࠸
−π
-7-
3.4 振動システムに吸収されるパワ（= 外力がする仕事率）
dx
dt
F
= F cos ωt × − H (ω )sin(ωt + φ )
b
2
sin(2ωt + φ ) − sin(−φ )
F
=−
H (ω )
b
2
2
F
=−
H (ω ){sin(2ωt + φ ) + sin(φ )}
2b
P は時間 t の関数となる
P = F cos ωt ×
→
[J/s] または [W]
そこで，1 周期(T = 2 π / ω )で時間平均をとると，
€
1
P =
T
F2
F2
∫ P(t)dt = − 2b H (ω )sin φ = 2b H
2
(ω )
T
<P>
€
F2/2b
2γ
F2/4b
0
→
ω0
ω
<P>がピーク値の半分となる角振動数の幅が 2 γ となる
よって，2 γ （制動係数）のことをパワの半値幅ともよぶ
-8-
3.5 機械インピーダンス
機械インピーダンス = 加振力の複素振幅／速度の複素振幅
Z (ω ) =
F
jωD
F
=
F
1
⋅ 2
2
m ω0 − ω + j2γω

k
= b + j ωm − 

ω
jω


1
= m2γ +
ω02 − ω 2 )
(
jω


|z(ω)|
€
b
0
ω
ω0
,P
ωЍ∞
Z(ω)ࡢ」⣲ᩘᖹ㠃ୖ࡛ࡢ㌶㊧
ω = ω0 + γ
ω = ω0
π/4
0
π/4
5H
b
ω = ω0 - γ
ωЍ0
-9-

Download Report