（量子井戸）のエネルギー固有値と固有関数 - 電気システム工学科

中部大学　工学部　電気システム工学科　後藤　英雄　2014/05/30
井戸型ﾎﾟﾃﾝｼｬﾙのｴﾈﾙｷﾞｰ固有値と波動関数を求める
V0
W
2
x
W
2
0
0
Ε
x
ℏ 2 ∂2
−W W
,  x のとき、 −
 V 0 = E 
2
2
2m ∂ x 2
=
 2m V 0−E 
ℏ
とおけば、
x −∞ で   0 であるから、 = A exp x 
 x−
x  ∞ で  0 であるから、  =B exp− x 

W

2
W
 x
2
ℏ 2 ∂2
−W
W
x
−
 =E 
2
2 のとき、
2m ∂ x 2
k=
2mE
とおけば、 =C cos  kx Dsin kx  で与えられる。
ℏ
x=±
W
2 で、関数は連続で傾きも連続であるから、以下の条件が成立する。

−1
0
−1
0
0
−1
0
−1

W
W
k
−sin  k 
2
2
W
exp −  A
k
W
k
W
2
sin  k 
cos  k 


2
2
W
exp −  B =0
W
W
2
cos  k 
sin  k 
2
2
C
k
W
k
W
D
sin  k  − cos  k 


2
2
cos 

1
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係数 A～D は、同時には’０’ではないので、
∣
∣∣
W
W
W
k
−sin k 
−1 cos  k 
2
2
2
k
W
k
W
k
W
−1
sin  k 
cos  k  − −1
sin k 



2
2
2
k
W
k
W
W
0
sin  k  − cos  k 
0
cos  k 


2
2
2
cos
−1
2
∣
W
k
2
k
W
cos  k  =0

2
W
sin k 
2
−sin
k2
W
W
k
k
W
W
2 W
2 W
2 W
2 W
k cos  k − cos  k −sin  k − cos  k −sin  k −2sin  k cos  k =0
2 sin 
2
2
2
2
2
2
2
2



1−
k2
W
W
k
2 W
2 W
k cos  k  cos  k −sin  k =0
2 sin 
2
2
2
2


この式は、次の二通りに変形される。
Wk
k
Wk
Wk
k
Wk
k
sin
 cos 
cos 
− sin 
=0
2
2
2
2
2



tan Wk= 2
k
−1
Wk
k
Wk 
2
tan 
=−
tan 
=

または、
2

2
k
 
B で、A,C,D を表す。
(
−1
−1
(
0
)(
W
W
k ) −sin ( k )
2
2
W
0
exp(− α) A
k
W
k
W
0
2
=
α sin ( 2 k ) α cos ( 2 k )
W
C
exp(− α)B
W
W
D
2
cos ( k )
sin ( k )
2
2
cos (
)(
(
)
)(
k
k
− α cos (Wk ) −sin(Wk)
α
W
exp(− α) A
W
W
k
W
W
1
2
sin ( k ) −sin ( k ) α cos ( k )+sin ( k )
=
2
2
2
2
k
C
cos (Wk )+sin (Wk )
α
W
W
W
k
W
D
−cos ( k ) cos( k ) cos( k )− α sin ( k )
2
2
2
2
)
0
0
W
exp(− α) B
2
k
1 k2
k
k2
W
W
cos Wk =  2 −1 sinWk  であるので、
cos Wk sin Wk = 2 1sin  k  cos  k 

2 

2
2

k
α
k
α
A=
B= 2
B
k
k
W
W
cos(Wk
)+sin(Wk
)
( 2 +1)sin( k ) cos( k )
α
2
2
α
2
)
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Wk
k
=−
2
 のとき
k
−B
α
A= 2
B=
=−B
2 W
2 W
k
W
W
( 1+ tan ( k ))cos ( k )
( 2 +1)sin( k )cos ( k )
2
2
2
2
α
tan 
C=
k
W
W
α cos ( 2 k )+ sin( 2 k )
k
α cos (Wk )+ sin(Wk )
exp(−
W
α) B=0
2
W
k
W
W
W
k )− α sin( k )
exp (− α) B
exp(− α)
2
2
W
2
2
D= 2
exp(− α) B=
=
B
2
W
W
2 W
2 W
k
W
W
(tan ( k )+1)sin( k ) cos ( k )
sin ( k )
( 2 +1)sin( k )cos ( k )
2
2
2
2
2
2
α
cos (
Wk
k
Wk 
cot 
=
=
のとき
であるので、
2

2
k
k
B
α
A= 2
B=
=B
2 W
2 W
k
W
W
( 1+ cot ( k )) sin ( k )
( 2 +1)sin( k )cos ( k )
2
2
2
2
α
tan 
W
k
W
k )− α sin( k )
2
2
W
D= 2
exp(− α) B=0
2
k
W
W
( 2 +1)sin( k )cos ( k )
2
2
α
k
W
W
W
W
exp(− α) B
exp(− α)
α cos ( 2 k )+sin ( 2 k )
W
2
2
C= 2
exp(− α)B=
=
B
2
W
W
2 W
2 W
k
W
W
(cot ( k )+1)sin ( k )cos ( k ) cos ( k )
( 2 +1)sin ( k )cos ( k )
2
2
2
2
2
2
α
cos (
tan 
Wk
k
Wk 
=−
tan 
=
Wk を求めるために、α が、ｋの関数であることを考慮し
、
2

2
k を満たす
てグラフを作成する。
交点が、条件を満足する Wk を与える。
3
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V0→∞
3π
2
1π
2
2π
2
4π
2
V0→∞
Wk
2
n
Wk n 
=
より、 k =
である。
2
2
W
V0 が無限大から有限値になると、 Wk は nπ より小さくなる。V0 が小さくなるほど、nπ からのずれは大き
くなる。
2
井戸内の波の波長を λ とすれば、 =
である。井戸内の電子の波の波長 λ は、k に反比例するの
k
2W
で、V0→∞の時の波長 =
に対して、V0 が小さくなるほど同じ量子数 n に対応する波の波長は長
n
くなる。
エネルギー固有値と波動関数は、次のようになる。
V0→∞では、
V0：有限値の時
V0：無限大の時
4

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