座標系の時間微分（一般軸周りの回転の場合）

座標系の時間微分（一般軸周りの回転の場合）
座標系の時間微分の公式が, 一般軸周りの回転を含む場合にも成り立つことを示そう. いま座標系
(xi−1 , yi−1 , zi−1 ) が一般軸 q 周りの角度 θ の回転によって座標系 (xi , yi , zi ) に移されるとし, 回転角
θ = 0 のとき, 回転軸 q は
q = kx xi + ky yi + kz zi , kx2 + ky2 + kz2 = 1,
と表わされるとする. すなわち q は単位ベクトルである. いま, vers θ := 1 − cos θ とするとき, この
回転行列 Rot(q, θ) は

ky kx vers θ − kz sin θ
ky2 vers θ + cos θ
kx2 vers θ + cos θ

Rot(q, θ) = kx ky vers θ + kz sin θ
kx kz vers θ − ky sin θ

kz kx vers θ + ky sin θ

kz ky vers θ − kx sin θ ,
ky kz vers θ + kx sin θ
kz2
(1)
vers θ + cos θ
で与えられるのであった. 前回示した z 軸周りの回転に対する証明をたどると, A(θ) = Rot(q, θ) に
対して
∂
A(θ)
∂θ
を計算しなくてはならないことが分かる. しかし (1) の形から明らかなように, これを直接計算する
A(θ)−1
のはかなり煩雑である. そこで以下のような工夫をする. いま
 


kx
0
−kz ky
 


q =  ky  , W =  kz
0
−kx  ,
−ky
kz
kx
(2)
0
とおくと,
q T q = 1,
であり,
 
0
 
W q = q × q = 0 ,
0
が成り立つ. また,

0

W W =  kz
−kz
0
W T = −W,
(3)
[
q T W = −q T W T = −(W q)T = 0 0

ky
0

−kx   kz
−kz
0
  2
ky
−ky − kz2
 
−kx  =  kx ky
−ky kx
0
−ky kx
0
 2

kx − 1 kx ky
kx kz


2
=  kx ky ky − 1 ky kz  = qq T − I3
kx kz
ky kz kz2 − 1
kx kz
]
0 ,
(4)
kx ky
−kx2 − kz2
kx kz
ky kz
ky kz
−kx2 − ky2



(5)
である. 式 (1), (2) より,
A(θ) = qq T vers θ + I3 cos θ + W sin θ
(6)
と書けるので, その偏微分は容易に計算でき,
∂
A(θ) = qq T sin θ − I3 sin θ + W cos θ
∂θ
(7)
となる. また, A(θ) は回転行列であるから
A(θ)−1 = Rot(q, −θ) = qq T vers θ + I3 cos θ − W sin θ
1
(8)
である. これと性質 (3), (4), (5) を用いると
A(θ)−1
∂
A(θ) = (qq T vers θ + I3 cos θ − W sin θ)(qq T sin θ − I3 sin θ + W cos θ)
∂θ
= qq T qq T vers θ sin θ − qq T vers θ sin θ + qq T cos θ sin θ − I3 cos θ sin θ + W cos2 θ
+ W sin2 θ − W W cos θ sin θ
= (qq T − I3 − W W ) cos θ sin θ + W (sin2 θ + cos2 θ) = W
となることが分かる. ここで

0 0

Wx = 0 0
0 1
0


0
0
1



W y =  0 0 0 ,
−1 0 0

−1 ,
0
(9)


0 −1 0


Wz = 1 0 0
0 0 0
とおき, W = kx Wx + ky Wy + kz Wz と表現しよう. 前回示した z 軸周りの回転の場合と同様に
∂
∂A
(xi , yi , zi ) = (xj , yj , zj )A−1
(xj , yj , zj )−1 (xi , yi , zi )
∂θj
∂θ
の右辺を求めたいが, (9) よりこれは
(xj , yj , zj )W∗ (xj , yj , zj )−1 (xi , yi , zi )
の線形結合として得られる. 前回の議論から, Wz に対応する部分は kz (zj × xi , zj × yi , zj × zi ) で与
えられることが分かっている. 同様にして Wx , Wy に対応する部分は
kx (xj × xi , xj × yi , xj × zi ),
ky (yj × xi , yj × yi , yj × zi )
となることがいえる. 外積演算が各々のベクトルに対して線形であることから, 結局
qj = kx xj + ky yj + kz zj
を用いて
∂
(xi , yi , zi ) = (qj × xi , qj × yi , qj × zi ),
∂θj
(10)
と表現される. よって z 軸周りの回転の場合と同様に, 合成関数の微分公式から
(x˙ i , y˙ i , z˙i ) =
i
∑
(qj × xi , qj × yi , qj × zi )θ˙j ,
(11)
j=1
が導かれる.
(証明終)
各種物理量の漸化式
座標系原点の速度
先の座標系原点 pi の表現 (b.1) より
p˙i = p˙ i−1 + lxi−1 x˙ i−1 + lyi−1 y˙ i−1 + lzi−1 z˙i−1
となる. 一方 (a.6) から
x˙ i−1 =
i−1
∑
j=1
(qj × xi−1 )θ˙j ,
y˙ i−1 =
i−1
∑
(qj × yi−1 )θ˙j ,
j=1
z˙i−1 =
i−1
∑
(qj × zi−1 )θ˙j
j=1
2
であるので,
ωi−1 =
i−1
∑
qj θ˙j
(b.2)
j=1
とおけば
x˙ i−1 = ωi−1 × xi−1 ,
y˙ i−1 = ωi−1 × yi−1 ,
z˙i−1 = ωi−1 × zi−1
(b.3)
と書ける. したがって, 座標系原点の速度は以下のようになる:
p˙i = p˙i−1 + ωi−1 × (lxi−1 xi−1 + lyi−1 yi−1 + lzi−1 zi−1 ),
(i ≥ 1),
(b.4)
p˙0 = ω0 = 0.
リンクの角速度
式 (b.2) より, リンクの角速度の漸化式は
ωi = ωi−1 + qi θ˙i ,
(i ≥ 1),
ω0 = 0,
(b.5)
z˙i = ωi × zi ,
(b.6)
で与えられる.
座標軸, 回転軸の時間微分
いま qi = kx xi + ky yi + kz zi であり, (b.3) より
x˙ i = ωi × xi ,
y˙ i = ωi × yi ,
であるので, qi の時間微分は
q˙i = kx x˙ i + ky y˙ i + kz z˙i = ωi × (kx xi + ky yi + kz zi ) = ωi × qi
となる. これに (b.5) を代入すると
q˙i = ωi−1 × qi + (qi θ˙i ) × qi
であるが, 右辺第 2 項は 0 なので結局次式が得られる:
q˙i = ωi × qi = ωi−1 × qi .
(b.7)
座標系原点の加速度, リンクの角加速度
座標系原点の速度 (b.4) から, 加速度は
p¨i = p¨i−1 + ω˙ i−1 × (lxi−1 xi−1 + lyi−1 yi−1 + lzi−1 zi−1 )
{
}
+ ωi−1 × ωi−1 × (lxi−1 xi−1 + lyi−1 yi−1 + lzi−1 zi−1 ) ,
(i ≥ 1), (b.8)
p¨0 = ω˙ 0 = 0, で与えられる. また (b.5) を微分して, リンクの角加速度の漸化式
ω˙ i = ω˙ i−1 + q˙i θ˙i + qi θ¨i = ω˙ i−1 + qi θ¨i + (ωi−1 × qi )θ˙i ,
ω0 = ω˙ 0 = 0, を得る.
3
(i ≥ 1),
(b.9)

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