2015 年 1 月 8 日
No.13
数学を学ぶ (微分積分２)・授業用アブストラクト
§13. 重積分の変数変換公式
前節では、一次変換という特殊な座標変換について、重積分の変数変換公式を導いた。この
節では、一般の座標変換について、重積分の変数変換公式を導く。特に、極座標変換の場合に、
その使い方を説明する。
一次変換の重積分の変数変換公式には行列式が登場するが、一般の場合にそれに相当するの
は、偏微分係数を並べた行列の行列式—ヤコビアン—である。そこで、まず、ヤコビアンの定
義とその幾何学的性質を説明することにしよう。
● 13 - 1 : C 1 -級写像
R2 の部分集合 U の各点 (u, v) に対して、R2 の点を１つずつ定める対応規則 F のことを、
U から R2 への写像といい、これを F : U −→ R2 のように表わす。(u, v) ∈ U に対応づけら
れている R2 の点 F (u, v) は、
(13 - 1 a)
F (u, v) = (φ(u, v), ψ(u, v))
のように表わされる。ここで、φ(u, v), ψ(u, v) は U 上で定義された２つの関数である。
写像 F が C 1 -級であるとは、U が R2 の開集合であって、φ および ψ が C 1 -級であるとき
をいう。ここで、U 上で定義された関数 f (u, v) が C 1 -級であるとは、u, v に関して偏微分可
∂f ∂f
∂u , ∂v
能であって、偏導関数
が連続のときをいう。
例 13 - 1 - 1 (1) a, b, c, d ∈ R を定数とする。F : R2 −→ R2 , F (u, v) = (au + bv, cu + dv) は
R2 から R2 への C 1 -級写像である。
(2) F : R2 −→ R2 , F (r, θ) = (r cos θ, r sin θ) は R2 から R2 への C 1 -級写像である。
● 13 - 2 : ヤコビアン
開集合 U 上で定義された C 1 -級写像
(13 - 2 a)
F : U −→ R2 ,
と点 (a, b) ∈ U に対して、2 次正方行列
∂φ
F (u, v) = (φ(u, v), ψ(u, v))
(a, b)
∂u
∂ψ
(a, b)
∂u
(13 - 2 b)
∂φ
(a, b)
∂v
∂ψ
(a, b)
∂v
の行列式をヤコビアン (Jacobian) といい、JF (a, b) で表わす：
(13 - 2 c)
JF (a, b) =
∂φ
∂ψ
∂φ
∂ψ
(a, b) (a, b) −
(a, b) (a, b).
∂u
∂v
∂v
∂u
– 73 –
例 13 - 2 - 1
(13 - 2 d)
[例 13 - 1 - 1(1)] の写像 F について、点 (u, v) におけるヤコビアンは
(
)
a b
JF (u, v) = det
= ad − bc.
c d
[例 13 - 1 - 1(2)] の写像 F について、点 (r, θ) におけるヤコビアンは
)
(
cos θ −r sin θ
= r(cos2 θ + sin2 θ) = r.
(13 - 2 e)
JF (r, θ) = det
sin θ r cos θ
● 13 - 3 : ヤコビアンの幾何学的な意味
座標軸に平行な辺からなる、U に含まれる微小長方形 R とそれを F で写した像 F (R) との
面積比を求めよう。R の頂点を
A1 (a, b), A2 (a + ∆u, b), A3 (a, b + ∆v), A4 (a + ∆u, b + ∆v)
とおく (∆u, ∆v は R の１辺の長さ) と、
R = { (a + s∆u, b + t∆v) | 0 ≤ s, t ≤ 1 }
(13 - 3 a)
と表わせる。このとき、R を F で写した像 F (R) は
(
)
F (R) = { φ(a + s∆u, b + t∆v), ψ(a + s∆u, b + t∆v) | 0 ≤ s, t ≤ 1 }
となる。ここで、φ, ψ を (a, b) のまわりで第 1 次テイラー展開して、
であることを用いると、F (R) は
∂φ ∂φ ∂ψ ∂ψ
,
,
,
が連続
∂u ∂v ∂u ∂v
R′ = { F (A1 ) + sp + tq | 0 ≤ s, t ≤ 1 }
で近似されることがわかる。但し、
)
(
∂ψ
∂φ
p = ∆u (a, b), ∆u (a, b) ,
∂u
∂u
である。
( ∂φ
)
∂ψ
q = ∆v (a, b), ∆v
(a, b)
∂v
∂v
y
v
A3
∆v
A1
A4
B1
k
A2
p
F(A1)
F
u
O
q
F
R
∆u
B3
O
F(A3)
B4
F(A4)
F(A2)
R'
B2
x
p, q が平行でないときには、R′ は
B1 = F (A1 ) = (φ(a, b), ψ(a, b)),
B2 = (φ(a, b), ψ(a, b)) + p,
B3 = (φ(a, b), ψ(a, b)) + q,
B4 = (φ(a, b), ψ(a, b)) + p + q
(13 - 3 b)
を頂点とする平行四辺形であるから、(12 - 3 b) より、R′ の面積は
∂ψ
∂φ
∂ψ
∂φ
(a, b) − ∆v (a, b) · ∆u (a, b) = |JF (a, b)|µ(R)
µ(R′ ) = ∆u (a, b) · ∆v
∂u
∂v
∂v
∂u
で与えられる。以上の考察から、p, q が平行でないとき、つまり、JF (a, b) ̸= 0 のとき、
(13 - 3 c)
(F (R) の面積) ≒ |JF (a, b)| × (R の面積)
となることがわかった。
– 74 –
● 13 - 4 : 座標変換 (変数変換)
S を R2 の部分集合とする。(a, b) ∈ S が S の内点であるとは、ε > 0 を十分小さくとると、
(a, b) の ε-近傍 Uε (a, b) が S に含まれるときをいう。S の内点全体からなる集合を S の内部と
いう。S から内部をとり除いた部分を S の境界と呼ぶ。
F : S −→ R2 を R2 の部分集合 S から R2 への写像とする。S
の部分集合 E に対して F (E) を
B
A
F (E) = { F (u, v) | (u, v) ∈ E }
(13 - 4 a)
S
と定義し、F による E の像という。
E, D を R2 の面積確定有界閉集合とする。R2 の開集合 U 上で定義された C 1 -級写像 F :
U −→ R2 が E から D への座標変換 (あるいは、変数変換) を定めるとは、以下の２条件が満
たされるときをいう。
⃝
1 F は E の内部の上では D の内部への単射である。すなわち、F は E の内点を D の
内点に写し、 E の相異なる２つの内点を D の相異なる内点に写す。
⃝
2 F (E) = D である。すなわち、D の任意の点 (x, y) に対して、F (u, v) = (x, y) となる
E の点 (u, v) が存在する。
例 13 - 4 - 1
[例 13 - 1 - 1](2) の C 1 -級写像
(13 - 4 b)
F (r, θ) = (r cos θ, r sin θ)
((r, θ) ∈ R2 )
は、E = { (r, θ) ∈ R2 | 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π } から D = { (x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 }
への座標変換を定める。
一般に、(13 - 4 b) で与えられる C 1 -級写像 F は、{ (r, θ) ∈ R2 | r ≥ 0, θ ∈ R } に含まれる
任意の面積確定有界閉集合 E を面積確定有界閉集合 F (E) に写す。(13 - 4 b) の C 1 -級写像 F
によって与えられる座標変換のことを極座標変換という。
● 13 - 5 : 重積分の変数変換公式
第 11 節で導いた変数変換公式 (12 - 4 c) と類似の公式が、より一般の C 1 -級写像 F に対して
成り立つ。すなわち、
定理 13 - 5 - 1 (変数変換公式)
D を面積確定有界閉集合、f (x, y) を D 上で定義された連続関数とする。また、F : U −→ R2
を R2 のある開集合 U 上で定義された C 1 -級写像であって、U に含まれるある面積確定有界
閉集合 E から D への座標変換であるとする。E の任意の内点 (a, b) において JF (a, b) ̸= 0
であれば、次の公式が成り立つ：
∫
∫
(13 - 5 a)
f (x, y) dxdy =
f (F (u, v))|JF (u, v)| dudv
D
E
(証明の概略)
E を座標軸に平行な直線によって分割する。但し、E と交わる小長方形領域 Rij はどれも U に
含まれるくらいに細かく分割しておく。すると、D はこのような小長方形領域の像 Dij = F (Rij )
により分割される。E, D のこのような分割をそれぞれ、∆, F (∆) とおく。
– 75 –
F は E の内点を D の内点に写していて、E の相異なる内点を D の相異なる内点に写してい
るので、Dij たちは境界以外で重なることはない。したがって、Dij の中から一点 ξij = (xij , yij )
を選んで、和
(13 - 5 b)
S(f, F (∆)) =
∑
f (xij , yij )µ(Dij )
i,j
を作り、分割 ∆ を細かくしていくと (分割 F (∆) も細かくなるので)、和 (13 - 5 b) は
∫
(13 - 5 c)
f (x, y) dxdy
D
に収束する。
Rij
Dij
y
v
F
u
x
一方、(xij , yij ) = F (uij , vij ) とおくと、(13 - 3 c) により、和 (13 - 5 b) は
∑
(13 - 5 d)
S(f ◦ F, ∆) =
f (F (uij , vij ))|JF (uij , vij )|µ(Rij )
i,j
によって近似され、分割 ∆ を細かくすればするほど、近似の精度は高くなる。和 (13 - 5 d) は、
|∆| → 0 とすると、
∫
(13 - 5 e)
f (F (u, v))|JF (u, v)| dudv
E
□
に収束するから、等式 (13 - 5 a) が得られた。
● 13 - 6 : 極座標変換による重積分の計算
(13 -4 b) によって定義される C 1 -級写像 F の任意の点 (r, θ) におけるヤコビアンは JF (r, θ) =
r であった。したがって、[定理 13 - 5 - 1] より次を得る：
面積確定有界閉集合 E が面積確定有界閉集合 D に極座標変換により写されるとき、D 上で
定義された連続関数 f (x, y) に対して、
∫
∫
(13 - 6 a)
f (x, y) dxdy =
f (r cos θ, r sin θ)r drdθ.
D
例 13 - 6 - 1 D = { (x, y) ∈
とするとき、重積分
∫
E
R2
|
x2
+
y2
y
2
≤ 4, y ≥ 0 }
x2 y dxdy の値は、
D
D
E = { (r, θ) ∈
R2
| 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ π }
-2
とおくと、極座標変換 x = r cos θ, y = r sin θ (r ≥ 0, θ ∈ R)
によって、E は D に写されることから、
∫
∫
∫
2
2
x y dxdy = (r cos θ) · r sin θ · r drdθ =
D
E
0
– 76 –
{∫
2
r
4
π
}
cos θ sin θ dθ dr · · · =
2
0
O
x
2
64
.
15
□
2015 年 1 月 8 日
No.13
数学を学ぶ (微分積分２) 演習問題 13
13-1. 次の各写像の定義域内の点 (a, b) におけるヤコビアンを求めよ。
(
( sin u sin v )
π
π)
(1) F (u, v) =
,
0≤u< , 0≤v<
cos v cos u
2
2
2
1
1
2
(2) F (u, v) = (u 3 v 3 , u 3 v 3 )
(u, v > 0)
13-2. 次の重積分の値を求めよ。
∫
(1)
xy 2 dxdy,
D = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ x }
D
∫
(2)
(2x − y) dxdy,
D = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1, x −
D
– 77 –
√
√
3y ≥ 0, 3x + y ≥ 0 }
数学を学ぶ (微分積分２) 通信
[No.13]
2015 年 1 月 8 日発行
■ 演習 12-1 について
線分 L および三角形 ∆ を集合として正しく表わせなかった人が多かったです。
L は点 A(−2, 0) と B(0, 1) を端点とする線分ですから、L 上の点は (1−t)(−2, 0)+t(0, 1) (0 ≤
t ≤ 1) と表わされます。したがって、L を集合として表わすと、L = { (1−t)(−2, 0)+t(0, 1) | 0 ≤
t ≤ 1 } となります (これを { s(−2, 0) + t(0, 1) | 0 ≤ s, t ≤ 1 } と表現した人が多かったです)。
一次変換は内分比を保つので、F (L) = { (1 − t)F (−2, 0) + tF (0, 1) | 0 ≤ t ≤ 1 }, つまり、
F (L) は F (−2, 0) = (−2, −4) と F (0, 1) = (3, 5) を端点とする線分になります。
三角形 ∆ についても同様のミスが多かったです。点 C(1, 1) と
C
D(1, −1) とおくと、∆ 内の任意の点は
sC + tD
kC
(0 ≤ s, 0 ≤ t, s:::::::::
+ t ≤ 1)
のように表されます。平行四辺形と違い、波線部分の制限がつく
O
ことに注意してください。0 ≤ s, t を満たす同時には 0 でない s, t
kD
s
t
D
に対して k = s + t とおくと、sC + tD = (kC) + (kD) と書き
k
k
換えられるので、sC + tD は 2 点 kC, kD を端点とする線分上にあります。この点が三角形 ∆
の内部および周上にあるための条件を求めると、k ≤ 1, すなわち、s + t ≤ 1 が得られます。
■ 第 11 回学習内容チェックシート Q2 について
1 番目の問いに対する解答ができていない人が多かったです。この問題は、
R2 の有界な部分
∫
集合 D 上で定義された重積分可能な関数 f (x, y) について、重積分
f (x, y)dxdy とは何かを
D
説明する問題でした。余計なことが沢山書かれたものが多かったです。ここで問われているの
∫
は、関数 f (x, y) が D 上で重積分可能であるときの
f (x, y)dxdy の意味ですから、D 以外の
D
部分では値を 0 と定めて f (x, y) を拡張して得られる
R2 上の関数 f0 (x, y) の、D を含むある
∫
長方形領域 R0 上での重積分の値
f0 (x, y)dxdy のことである、と解答すれば充分です。この
R0
他、Q2 の冒頭に「D を R2 の有界な部分集合とする」と書かれているにもかかわらず、この文
を書いた人が何人もいました。問題文に書かれている設定の下で解答すべきなので、この文を
書くのは不適切です。逆に、設定されていない、新たに自分で用いる記号は説明が必要です。
■ 「基礎からの数学２」のための濱本先生による動画教材について
濱本先生がご自身の授業で使われるために作成された動画を、関西大学 IT センターの e-
Learning ライブラリーに載せておられます。この授業と重なる部分が多く、また、この授業で
は説明していない題材も沢山含まれているので、理解の助けになると思います。視聴には専用
のパスワードが必要ですので、希望する人は学習支援室に行き、濱本先生を尋ねてください。
■ 次回予告
次回は積分領域が有界閉集合でない場合や、関数が有界でない場合についての重積分、すな
わち、広義重積分の定義と計算方法を学びます。
– 78 –
2015 年 1 月 8 日
数学を学ぶ（微分積分２）第 13 回・学習内容チェックシート
学籍番号
氏 名
Q1. 次の表を完成させてください。ページ欄にはその言葉の説明が書かれているアブストラク
トのページを書いてください。
ページ
意味
関数 f (u, v) が C 1 -級
p.
であるとは？
C 1 -級写像 F (u, v) =
(φ(u, v), ψ(u, v)) の
点 (a, b) におけるヤ p.
コビアン JF (a, b) と
は？
Q2. 次の
に適当な言葉や数式を入れてください。
• F : U −→ R2 を R2 の開集合 U 上で定義された C 1 -級写像とする。JF (a, b) ̸= 0 のと
き、(a, b) を頂点の１つとする U に含まれる微小長方形 R を F で写したものの面積
µ(F (R)) は、
µ(F (R)) ≒
× µ(R)
により近似的に求められる。
• 面積確定有界閉集合 E が面積確定有界閉集合 D に極座標変換により写されるとき、D
上で定義された連続関数 f (x, y) に対して、重積分の極座標変換公式
∫
f (x, y) dxdy =
D
が成り立つ。
• 面積確定有界閉集合 D が D = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 ≤ 1, ax + by ≥ 0, cx + dy ≥ 0 }
のような扇形をしているときには、上の変換公式を使って、
D 上で定義された連続関
∫
数 f (x, y) の重積分
f (x, y)dxdy を求めることができる。そのためには、極座標変換
D
F (r, θ) =
の下で F (E) = D となるような長方形領域 E を求めることができればよい。このような
E を求めるには、まず、D を (x, y)-座標平面上に描き、次に、x =
, y=
とおいて、(x, y) が D 内を自由に動くとき、r と θ がどのような範囲
を動くのかを調べればよい。
Q3. 第 13 回の授業で学んだ事柄について、わかりにくかったことや考えたことなどがありまし
たら、書いてください。
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