m、n は正の整数とする。

物理数学第 1 回
1. 三角関数系の次の直交性を示せ。ここで、m、n は正の整数とする。
Z π
a.
cos mx cos nx dx = πδmn
−π
Z π
b.
cos mx sin nx dx = 0
−π
Z π
c.
sin mx sin nx dx = πδmn
−π
d. また、上の式において、m あるいは n が 0 の時はどうなるか。
a.
Z
π
···
cos mx cos nxdx
−π
cos mx cos nx =
(i)
1
{cos (m + n) x + cos (m − n) x}
2
m 6= n のとき
·
¸π
1
1
1
(i) =
sin(m + n)x +
sin(m − n)x
2 m+n
m−n
−π
= 0
m = n のとき
Z
π
1
(cos 2mx + 1) dx
−π 2
·
¸π
1 1
=
sin 2mx + x
2 2m
−π
= π
(i) =
したがって
Z
π
cos mx cos nxdx = πδmn
−π
b.
Z
π
sin mx sin nxdx
−π
cos mx sin nx =
1
{sin (m + n) x − sin (m − n) x}
2
m 6= n または m = n のとき
1
{sin (m + n) x − sin (m − n) x} は奇関数であるから
2
Z π
sin mx sin nxdx = 0
−π
1
c.
Z
π
···
sin mx sin nxdx
−π
(ii)
1
sin mx sin nx = − {cos (m + n) x − cos (m − n) x}
2
m 6= n のとき
·
¸π
1
1
1
(ii) = −
sin (m + n) x −
sin (m − n) x
2 m+n
m−n
−π
= 0
m = n のとき
Z
1 π
(ii) = −
(cos 2mx − 1) dx
2 −π
·
¸π
1 1
= −
sin 2mx − x
2 2m
−π
= π
したがって
Z
π
sin mx sin nxdx = πδmn
−π
d.
a. について
m = 0, n 6= 0 のときは a. は成り立っている
m = n = 0 のとき，元の式に m, n を代入すると
Z π
(与式) =
dx = 2π
−π
b. について
m = 0, n 6= 0 のとき
(与式) =
n = 0 のとき
Z
π
sin nxdx = 0
−π
(与式) =
Z
π
0dx = 0
−π
よって b. は成り立っている
c. について
m = 0 または n = 0 のとき
(与式) =
Z
π
−π
よって δmm が成り立っていない.
2
0dx = 0
2. 区間 −π ≤ x < π で、
f (x) =
(
(−π ≤ x < 0)
(0 ≤ x < π)
0
1
の値をとる関数を周期 2π で周期的に拡張することにより作られる関数のフー
リエ級数を求めよ。
−π ≤ x < 0 では被積分関数が 0 なので、0 ≤ x < π の範囲だけを考える
1
a0 =
π
n 6= 0 のとき
an
bn
Z
1
=
π
= 0
π
1dx = 1
0
Z
π
cos nxdx
0
Z
1 π
sin nxdx
=
π 0
·
¸π
1
1
=
− cos nx
π
n
0
n が偶数のとき bn = 0
n が奇数のとき、すなわち n = 2k + 1
bn =
(k = 0, 1, 2, · · ·) とすると
2
nπ
よって
∞
2
1 X
f (x) = +
sin(2k + 1)x
2 k=0 π(2k + 1)
3
3. 次の関数 f (x) のフーリエ変換 fˆ(k) を求めよ。
f (x) = e−a|x| (a > 0)
ˆ
f (k)
=
Z
∞
e−a|x| e−ikx dx
−∞
Z 0
Z
(a−ik)x
=
e
dx +
·
−∞
¸0
∞
e−(a+ik)x dx
0
¸∞
·
1
1
(a−ik)x
−(a+ik)x
=
e
e
+ −
a − ik
a + ik
−∞
0
1
1
=
+
a − ik a + ik
2a
= 2
a + k2
4. f (x) を周期 T の周期的な関数とし、この関数を次のようにフーリエ級数展開
する。
∞
∞
X
2nπx X
2nπx
1
an cos
+
bn sin
f (x) = a0 +
2
T
T
n=1
n=1
この式は次のように書き直すことができる。
µ
¶
∞
X
1
2nπx
f (x) = a0 +
An sin
+ θn
2
T
n=1
An 、θn と an 、bn との関係式を求めよ。
［{A02 , A12 , A22 , · · ·} のことを物理的には周期関数 f (x) のエネルギースペク
トルと呼ぶ。ここでは、A0 = |a0 | としている。また一般に、非周期関数 f (x)
のフーリエ変換 fˆ(k) については、|fˆ(k)|2 を（連続的な）エネルギースペクト
ルと呼ぶ。］
∞
∞
X
X
2nπ
2nπ
1
an cos
x+
bn sin
x
f (x) = a0 +
2
T
T
n=1
n=1
q
ak
ak cos α + bk sin α = a2k + b2k sin (α + θk )
ただし tan θk =
bk
an
よって A2n = a2n + b2n , tan θn =
とおくと
bn
µ
¶
∞
X
1
2nπ
f (x) = a0 +
An sin
x + θn
2
T
n=1
4
5. 関数
f (x) =
(
0
(−π ≤ x < 0)
2
sin x
(0 ≤ x < π)
を周期 2π で周期的に拡張した関数のエネルギースペクトルを求めよ。
an
Z
Z
1 0
1 π 2
=
0 · cos nxdx +
sin x cos nxdx
π −π
π 0
Z
1 π 2
sin x cos nxdx
=
π 0
1
{2 cos nx − cos (n + 2) x − cos (n − 2) x}
4
sin2 x cos nx =
⇔
a0 =
1
2
a2 = −
1
4
1
0 · sin nxdx +
π
−π
Z
an = 0
1
bn =
π
Z
sin2 x sin nx =
0
π
sin2 x sin nxdx
0
1
{2 sin nx − sin (n + 2) x − sin (n − 2) x}
4
⇔
b0 = b2 = 0
n が偶数のとき bn = 0
1
n が奇数のとき bn =
2π
µ
2
1
1
−
−
n 2(n + 2) 2(n − 2)
∴
1
1
A0 = , A2 =
2
4
n が 4 以上の偶数のとき , An = 0
n が奇数のとき , An =
4
π|n(n − 2)(n + 2)|
5
¶
6. 以下の関数のラプラス変換を求めよ。
a. cos kx
b. e−αx sin ωx
a.
cos kx をラプラス変換
cos kx =
eikx + e−ikx
より
2
Z
∞
eikx + e−ikx −sx
e dx
2
0
Z
ª
1 ∞ © (ik−s)x
=
e
+ e−(ik+s)x dx
2 0
·
¸∞
1
1
1
(ik−s)x
−(ik+s)x
e
−
e
=
2 ik − s
ik + s
0
µ
¶
1
1
1
+
=
2 ik + s −ik + s
s
= 2
s + k2
F(s) =
b.
e−αx sin ωx をラプラス変換
F(s) =
=
Z
∞
0
e−αx sin ωxe−sx dx
ω
(α + s)2 + ω 2
6

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