問題と解答例

微分積分学第二《期末試験》
2014. 2. 17 (Mon) 2 限実施
各８点・100 点以上は切り捨て
1
次の重積分あるいは３重積分を計算せよ.
ĳ
p1q
px ´ yq2 dxdy,
D1 : ´1 ď x ď 1, 0 ď y ď 1.
sinpx ` 2yq dxdy,
D2 : 0 ď y ď x ď
D1
ĳ
p2q
D2
¡
D3 : |x| ` |y| ď 1 ´ z, 0 ď z ď 1.
z dxdydz,
p3q
π
.
2
D3
2
適当な変数変換を行うことにより, 次の重積分または３重積分を計算せよ.
ĳ
p4q
ĳ E1
p5q
ĳ E2
p6q
x4 y 3 dxdy,
E1 : y ě 0, x2 ` y 2 ď 1.
x`y
dxdy,
1 ` px ´ yq2
E2 : x ě 0, y ě 0, x ` y ď 1.
y dxdy,
E3 : 曲線
!
E3
¡
p7q
3
2
2
x “ t ´ sin t
p0 ď t ď 2πq と x 軸で囲まれる部分.
y “ 1 ´ cos t
2
xy e´x ´y ´z
dxdydz, E4 : x ě 0, y ě 0, z ě 0.
2
2
2 2
E4 px ` y ` z q
次の線積分を計算せよ. 但し, (8) は弧長に関する線積分を表す.
ż
p8q
x2 y ds,
C1 : 2 点 p1, 0q, p0, 1q を結ぶ線分.
y dx ´ x dy,
C2 : x “ t ´ sin t, y “ 1 ´ cos t p0 ď t ď 2πq.
C1
ż
p9q
C2
4
次の体積を求めよ.
p10q 平面 z “ 2x ´ y と放物面 z “ 1 ´ x2 ´ y 2 で囲まれる部分の体積 V1 .
p11q 2 点 p1, 0, 0q, p0, 1, 1q を結ぶ線分を z 軸の周りに 1 回転してできる曲面と 2 平面 z “ 0, z “ 1 とで囲ま
れる部分の体積 V2 .
p12q 空間の極座標 pr, θ, ϕq で表された曲面 r “ 1 ´ cos θ p0 ď θ ď πq で囲まれる部分のうちで xy 平面より上
にある部分の V3 .
5
次の面積を求めよ.
p13q 平面曲線 px2 ` y 2 q2 “ x2 ´ y 2 で囲まれる部分のうち, x ě 0 の側にある部分の面積 S1 .
a
p14q 半球面 z “ 1 ´ x2 ´ y 2 が円柱 x2 ` y 2 ď x によって切り取られる部分の面積 S2 .
p15q 半径 1 の球面は psin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θq とパラメータ表示できる. このとき, 球面上の π{6 ď θ ď
π{2, 0 ď ϕ ď π{4 に対応する部分の面積 S3 .
6
p16q 重積分 (2 変数) の変数変換の公式を書き, なぜそこに Jacobian が現れるのかを簡単に説明せよ.
クラス 3, 4 担当：伊東（数学）
微分積分学第二《期末試験》【解答例】
2013. 2. 5 (Tue) 4 限実施
1
p1q 《与式》“
ż1
ż1
dx
ż1 ”
0
ż1 ´
´1
2
px ´ 2xy ` y q dy “
´1
“
2
x2 y ´ xy 2 `
´1
y 3 ıy“1
dx
3 y“0
y
1
” x3
1¯
4
x2
x ı1
x2 ´ x `
.
dx “
´
`
“
3
3
2
3 ´1
3
0
もちろん展開せずに計算してもよい.
ż1
【別法】《与式》“
ż1
0
ż1
ż1
px2 ´ 2xy ` y 2 q dx “ 2
dy
dy
0
´1
px2 ` y 2 q dx “ 2
0
ż 1´
0
1
x
¯
1
4
` y 2 dx “ .
3
3
ここで, 第二の等号は積分区間 r´1, 1s の 0 に関する対称性による.
ż
π
2
żx
ż π2 ”
ıy“x
1
´ cospx ` 2yq
dx
2
y“0
0
0
0
żπ
ı π2
1 2
1 ” sin 3x
2
“
p´ cos 3x ` cos xq dx “
´
` sin x
“
.
2 0
2
3
3
0
ż π2 ż π2
ż π2 ”
ıx“ π2
【別法】《与式》“
dy
dy
sinpx ` 2yq dx “
´ cospx ` 2yq
p2q 《与式》“
dx
sinpx ` 2yq dy “
0
ż
π
2
“
0
y
y
/2
/2
0
x
x“y
0
ı π2
1
1
1
1
2
psin 2y ` cos 3yq dy “ ´ cos 2y ` sin 3y
“ ´ p´2q ` p´1q “ .
2
3
2
3
3
0
”
p3q D3 の z “ z1 p0 ď z1 ď 1q での切り口は |x| ` |y| ď 1 ´ z1 (対角線の長さが 2p1 ´ z1 q の正方形). よって,
ż1 ĳ
ż1
2 ¨ 2!
1
Γp2qΓp3q
《与式》“
“
“
.
dz
z dxdy “
2p1 ´ zq2 z dz “ 2 Bp2, 3q “ 2 ¨
Γp5q
4!
6
0
|x|`|y|ď1´z
0
ここでは B 関数を用いたが, そのまま展開して計算するのが普通のやり方.
【別法】 D3 : 1 ´ p|x| ` |y|q ď z ď 1, |x| ` |y| ď 1 より, x Ø ´x, y Ø ´y に関する対称性を用いて,
《与式》“
ż 1´p|x|`|y|q
ĳ
dxdy
ĳ
z dz “
|x|`|y|ď1
0
|x|`|y|ď1
1
p1 ´ |x| ´ |y|q2 dxdy
2
ĳ
ż 1 ż 1´x
1
2
“4¨
p1 ´ x ´ yq dxdy “ 2
dx
p1 ´ x ´ yq2 dy
x`yď1
2
0
0
xě0,yě0
ż
ż 1”
ıy“1´x
ı1
2 1
2” 1
1
1
dx “
p1 ´ xq3 dx “
´ p1 ´ xq4 “ .
“2
´ p1 ´ x ´ yq3
3
3 0
3
4
6
y“0
0
0
2
p4q x “ r cos θ, y “ r sin θ (平面の極座標) とおけば,
Bpx, yq
“ r. この変数変換により E1 は 0 ď r ď 1,
Bpr, θq
0 ď θ ď π に対応するから,
ˆż 1
˙ˆż π
˙
ĳ
3
4
3
8
4
《与式》“
pr cos θq pr sin θq ¨ r drdθ “
r dr
cos θ sin θ dθ .
0ďrď1
0ďθďπ
0
0
ここで, 三角関数の積分の部分は
żπ
4
3
ż
π
2
cos θ sin θ dθ “ 2
よって, 《与式》“
2
ż1
cos θ p1 ´ cos θq sin θ dθ “ 2
0
0
あるいは
4
u4 p1 ´ u2 q du “
0
˘ Γp 52 qΓp2q
Γp 5 q ¨ 1!
4
`9
“ B ,2 “
“ 7 52 ` 5 “
.
2
35
Γ 2q
2 ¨ 2 Γ 2q
`5
1 4
4
¨
“
.
9 35
315
4
,
35
ˇ
u`v
u ´ v Bpx, yq ˇˇ 12
p5q u “ x ` y, v “ x ´ y とおけば, x “
,y“
,
“
2
2
Bpu, vq ˇ 12
より E1 は 0 ď u ď 1, ´u ď v ď u に対応するから,
ĳ
ż
żu
ˇ 1ˇ
u
u
1 1
ˇ
ˇ
《与式》“
¨ ˇ´ ˇ dudv “
du
dv “
0ďuď1 1 ` v 2
2
2 0
1
`
v2
´u
´uďvďu
ż1
” u2
ı1 1 ż 1 u2
π
´1
´1
“
u Tan u du “
Tan u ´
du “
2
2
2
1
`
u
8
0
0
0
”
ı
´
¯
1
π 1
π 1
π
π´2
“ ´
u ´ Tan´1 u “ ´
1´
“
.
8
2
8
2
4
4
0
1
2
´ 12
1
2
ˇ
ˇ
ˇ “ ´ 1 . この変数変換に
ˇ
2
ż 1”
u Tan´1 v
dv
v“´u
0
1
´
2
ıv“u
ż 1´
1´
0
1 ¯
du
1 ` u2
p6q この曲線 (サイクロイド) を y “ ϕpxq (0 ď x ď 2π) と表せば,
2
ż 2π
ż ϕpxq
ż 2π
ϕpxq2
dx
《与式》“
dx
y dy “
2
0
0
0
ż 2π
ż
1 2π
ϕpxq2 dx
Π
“
dt “
p1 ´ cos tq3 dt
2 dt
2 0
0
ż 2π
żπ
ż π{2
531 π
t
5π
sin6 u du “ 16
sin6 u du “ 16 ¨
¨ “
.
“4
sin6 dt “ 8
2
642 2
2
0
0
0
p7q x “ r sin θ cos ϕ, y “ r sin θ sin ϕ, z “ r cos θ (空間の極座標) とおけば,
変換により E4 は 0 ď r ă 8, 0 ď θ ď
《与式》“
π
2
0ďϕď
Bpx, y, zq
“ r2 sin θ. この変数
Bpr, θ, ϕq
に対応するから,
2
¡
0ďră8
0ďθď π
2
0ďϕď π
2
ˆż 8
“
pr sin θ cos ϕqpr sin θ sin ϕqe´r
¨ r2 sin θ drdθdϕ
r4
2
e´r dr
0
3
π
2,
2Π
˙ˆż
π
2
sin3 θ dθ
0
˙ˆż
π
2
˙
cos ϕ sin ϕ dϕ
0
“
?
?
π 2 1
π
¨ ¨ “
.
2 3 2
6
p8q C1 は x “ 1 ´ t, y “ t (0 ď t ď 1) とパラメータ表示できる. よって,
ż1
a
? ż1
? 2! 1!
?
1
2
2
2
《与式》“
“ ? .
p1 ´ tq t p´1q ` 1 dt “ 2 p1 ´ tq2 t dt “ 2 Bp3, 2q “ 2 ¨
4!
6
2
0
0
ż 2π
ż 2π
p9q 《与式》“
tp1 ´ cos tqpt ´ sin tq1 ´ pt ´ sin tqp1 ´ cos tq1 u dt “
tp1 ´ cos tq2 ´ pt ´ sin tq sin tu dt
0
0
ż 2π
”
ı2π
“ 6π .
“
t2p1 ´ cos tq ´ t sin tu dt “ 2pt ´ sin tq ´ p´t cos t ` sin tq
0
0
4
p10q 平面と放物面の交線は z “ 2x ´ y “ 1 ´ x2 ´ y 2 と表される. これより x, y の関係式 x2 ` y 2 ` 2x ´ y “ 1,
すなわち px ` 1q2 ` py ´ 12 q2 “ p 32 q2 が得る. よって, 考えている部分は px ` 1q2 ` py ´ 12 q2 ď p 32 q2 で
定義された 2 つの関数のグラフ z “ 2x ´ y, z “ 1 ´ x2 ´ y 2 で囲まれる部分であるから, その体積は
ĳ
¡
dxdydz “
px`1q2 `py´ 1 q2 ďp 3 q2
V1 “
2
2
2
2x´yďzď1´x2 ´y
ĳ
tp1 ´ x2 ´ y 2 q ´ p2x ´ yqu dxdy
px`1q2 `py´ 21 q2 ďp 32 q2
!´ 3 ¯2
´
1 ¯2 )
´ px ` 1q2 ´ y ´
dxdy
2
2
px`1q2 `py´ 12 q2 ďp 32 q2
ĳ
)
!´ 3 ¯2
“
´ x2 ´ y 2 dxdy (平行移動)
2
x2 `y 2 ďp 23 q2
ĳ
)
!´ 3 ¯2
2
“
´
r
r drdθ (極座標変換)
0ďrď 23
2
“
0ďθď2π
“ 2π
ż 23 ´
¯
”9
9
1 ı 32
81π
r ´ r3 dr “ 2π r2 ´ r4 “
.
4
8
4
32
0
0
p11q 2 点 p1, 0, 0q, p0, 1, 1q を結ぶ線分上の点は p1, 0, 0q ` t tp0, 1, 1q ´ p1, 0, 0qu “ p1 ´ t, t, tq p0 ď t ď 1q と
表される. よって, この線分と平面 z “ z1 p0 ď z1 ď 1q との交点は p1 ´ z1 , z1 , z1 q であり, 考えている
a
p1 ´ z1 q2 ` z12 の円となる. 故に, 求める体積は
ż1
ż1
´2
¯
2π
2
2
V2 “
πpp1 ´ zq ` z q dz “ π p2z 2 ´ 2z ` 1q dz “ π
´1`1 “
.
3
3
0
0
曲面の z “ z1 による切り口は半径
p12q 考えている空間図形 (D とする) は, 空間の極座標 pr, θ, ϕq を用いて,
0 ď r ď 1 ´ cos θ,
π
,
2
0ďθď
0 ď ϕ ď 2π
と表される. よって, D の体積は, 空間の極座標変換を用いて,
¡
¡
V3 “
dxdydz “
0ďrď1´cos θ
0ďθď π
2
0ďϕď2π
D
ˆĳ
“
“
5
r2 sin θ drdθ
0ďrď1´cos θ
0ďθď π
2
2π
3
ż
π
2
r2 sin θ drdθdϕ
˙ˆż 2π
˙
ż π2 ” 3
ır“1´cos θ
r
sin θ
dθ
dϕ “ 2π
p1 ´ cos θq3 sin θ dθ “
0
3
3
0
0
2π ” 1
4
p1 ´ cos θq4
ı π2
0
r“0
π
.
6
“
p13q 曲線を極座標 pr, θq で表すと pr2 q2 “ pr cos θq2 ´ pr sin θq2 , すなわち r2 “ cos 2θ. よって, x ě 0 の範囲
?
で曲線は r “ cos 2θ (´ π4 ď θ ď π4 ) と表され, 求める面積は
ĳ
żπ
ż π4
1
1 4 ?
S1 “
p cos 2θ q2 dθ “
cos 2θ dθ “
r drdθ “ 2 ¨
.
?
0ďrď cos 2θ
2
2
0
0
π
π
´ 4 ďθď 4
a
´x
´y
, zy “ a
より,
p14q z “ 1 ´ x2 ´ y 2 に対して, zx “ a
1 ´ x2 ´ y 2
1 ´ x2 ´ y 2
d
b
x2 ` y 2
1
2
2
zx ` zy ` 1 “
`1“ a
.
1 ´ x2 ´ y 2
1 ´ x2 ´ y 2
よって,
ĳ
S2 “
x2 `y 2 ď2x
ż
π
2
“
´π
2
ĳ
b
2
2
zx ` zy ` 1 dxdy “
p1 ´ |sin θ|q dθ “ 2
ż
0ďrďcos θ
π
´π
2 ďθď 2
1
?
r drdθ “
1 ´ r2
ż
π
2
” a
ır“cos θ
´ 1 ´ r2
dθ
r“0
´π
2
π
2
p1 ´ sin θq dθ “ π ´ 2 .
0
p15q 考えている曲面は tpsin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θq |
π
6
ď θ ď
π
2,
0 ď ϕ ď
π
4u
と表される. ここで,
r “ psin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θq とおけば,
Br
Br
“ pcos θ cos ϕ, cos θ sin ϕ, ´ sin θq,
“ p´ sin θ sin ϕ, sin θ cos ϕ, 0q,
Bθ
Bϕ
ˇ Br Br ˇ
Br
Br
ˇ
ˇ
ˆ
“ psin2 θ cos ϕ, sin2 θ sin ϕ, cos θ sin θq, ˇ
ˆ
ˇ “ sin θ.
Bθ
Bϕ
Bt
Bθ
よって, 求める面積は
ˆż
ĳ
S3 “
π
π
6 ďθď 2
0ďϕď π
4
π
2
sin θ dθdϕ “
˙ˆż
π
4
sin θ dθ
π
6
0
?
˙
‰ π2
π“
3π
dϕ “
.
´ cos θ π “
6
4
8
π
6
【別法】 E “ tpr sin θ cos ϕ, r sin θ sin ϕ, r cos θq | 0 ď r ď 1,
に (E
ďθď
π
2,
0ďϕď
π
4u
とおけば, 明らか
の体積){ 43 π
¡
S3 “ 3
E
“ S3 {4π であるから,
ˆż 1
˙ˆż
¡
2
2
r
sin
θ
drdθdϕ
“
3
r
dr
dxdydz “ 3
0ďrď1
π
π
6 ďθď 2
0ďϕď π
4
0
π
2
˙ˆż
π
4
sin θ dθ
π
6
0
˙ ?
3π
dϕ “
.
8
6
"
x “ xpu, vq
によって pu, vq 平面の閉領域 E が px, yq 平面の閉領域 D の上に１対１に写さ
y “ ypu, vq
れるとき, D 上の連続関数 f px, yq に対して,
ˇ
ˇ
ĳ
ĳ
ˇ Bpx, yq ˇ
ˇ
ˇ dudv
f px, yq dxdy “
f pxpu, vq, ypu, vqq ˇ
(‹)
Bpu, vq ˇ
D
E
1
p16q C 級写像
Bpx, yq
が現れる理由は次の通り. E を微小
Bpu, vq
(ほぼ平行四辺形) の面積に対して,
が成り立つ. これが変数変換の公式である. ここに Jacobian
˜ij
長方形 t∆ij u に分割したとき, 各 ∆ij とその像 ∆
ˇ
ˇ
˜ij の面積) » ˇˇ Bpx, yq pui , vj qˇˇ(∆ij の面積)
(∆
Bpu, vq
ppui , vj q P ∆ij (右上の頂点の座標)q
が成り立ち (この部分が本質的), これより
ÿ
˜ij の面積) »
f pxij , yij q(∆
i,j
ÿ
ˇ
ˇ
ˇ
ˇ Bpx, yq
pui , vj qˇ(∆ij の面積)
f pxpui , vj q, ypui , vj qqˇ
Bpu, vq
i,j
˜ij とおいた). よって, 重積分の定義より, 分割を細かくした
が従う (pxij , yij q “ pxpui , vj q, ypui , vj qq P ∆
極限として (‹) が得られる.
【注意】平均点が予想以上に低かったので, 1 問 10 点で採点しました. (そのため 100 点が 5 人も)
8"
7"
7"
6"
6"
5"
5"
4"
4"
3"
3"
2"
2"
1"
1"
0"
0"
クラス 3
クラス 3 人数平均点最高点
１年
再履
全体
52
9
61
46.1
43.6
45.7
100`
72
100`
クラス 4 人数平均点最高点
0(4"
5(9"
10(14"
15(19"
20(24"
25(29"
30(34"
35(39"
40(44"
45(49"
50(54"
55(59"
60(64"
65(69"
70(74"
75(79"
80(84"
85(89"
90(94"
95(100"
9"
8"
0(4"
5(9"
10(14"
15(19"
20(24"
25(29"
30(34"
35(39"
40(44"
45(49"
50(54"
55(59"
60(64"
65(69"
70(74"
75(79"
80(84"
85(89"
90(94"
95(100"
9"
１年
再履
全体
54
9
64
40.2
31.3
39.4
100`
57
100`
クラス 4
クラス 3,4 担当：伊東（数学）

Download Report