477_定積分で表された関数問題の解法［数学Ⅲ］
定積分で表された関数問題の解法［数学Ⅲ］
１．定数型
b
⎮ f (t )dt が含まれる場合は，それ
与えられた条件式内に上端・下端が定数の定積分 ⌠
1
⌡a
1
1
を“＝C（定数）”とおいて， f ( x) の形を定め C を求める．
２．変数型
定積分の上端または下端に変数を含む場合は，次の定積分と微分の関係式を利用する．
d
dx
d
dx
特に
x
⌠
⎮ f (t )dt = f ( x) （a は定数）
⌡a
1
1
1
h( x)
⌠
⎮
f (t )dt = f (h( x)) ⋅ h′( x) − f ( g ( x)) ⋅g ′( x)
⌡g ( x )
1
1
1
例題１．《定数型》
1
⎮ f (t )dt を満たす連続関数 f ( x) を求めよ．
等式 f ( x) = e − ⌠
(1)
x
1
⌡0
1
任意の x に対して f ( x) = 2sin x +
(2)
(関西大)
1
2 ⌠π
⎮ f (t ) sin(2t − x)dt が成り立つような
π ⌡0
1
1
1
(東京都立大)
f ( x) を求めよ．
1
⌠
⎮ f (t )dt は定数だから“＝C（定数）”とおける．
⌡0
(2) 積分する t 以外の文字は定数扱いとなるから，x を積分記号の前に出すように変形し
(1)
1
1
1
なくてはならない．
s(1)
1
⌠
⎮ f (t )dt = C （定数）とおくと
⌡0
1
f ( x) = e x − C
1
（←
f ( x) の概形が定まる）
1
したがって
1
1
1
⎮ f (t )dt = ⌠
⎮ (et − C )dt = [ et − Ct ]0 = e − C − 1 （←C を求める）
C =⌠
⌡0
⌡0
e −1
これから 2C = e − 1 ⇔ C =
2
e −1
よって
f ( x) = e x −
2
(2)
1
1
1
1
1
1
加法定理から
2 ⌠π
2 ⌠π
⎮ f (t ) sin(2t − x)dt =
⎮ f (t )(sin 2t cos x − cos 2t sin x)dt
π ⌡0
π ⌡0
2 π
2 π
⎮ f (t ) sin 2tdt − sin x ⋅ ⌠
⎮ f (t ) cos 2tdt
= cos x ⋅ ⌠
π ⌡0
π ⌡0
2 ⌠π
2 ⌠π
⎮ f (t ) sin 2tdt = A ,
⎮ f (t ) cos 2tdt = B （A，B は定数）とおくと
ここで，
π ⌡0
π ⌡0
f ( x) = 2sin x + ( A cos x − B sin x)
（← f ( x) の概形が定まる）
= (2 − B) sin x + A cos x
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−1−
http://www.geocities.jp/ikemath
したがって
2 ⌠π
2 ⌠π
⎮ f (t ) sin 2tdt =
⎮ {(2 − B) sin t + A cos t} sin 2tdt
π ⌡0
π ⌡0
2 ⌠π
⎮ {2(2 − B) sin 2 t cos t + 2 A sin t cos 2 t} dt
=
π ⌡0
1
A=
1
1
1
1
1
1
1
1
π
2 ⎡2
2
2 ⎛ 2
2 ⎞
8
⎤
(2 − B) sin 3 t − A cos3 t ⎥ =
A
⎜ A + A⎟ =
⎢
π ⎣3
3
3 ⎠ 3π
⎦0 π ⎝ 3
⇔ A=0
=
これらから
2 ⌠π
2 ⌠π
⎮ f (t ) cos 2tdt =
⎮ {(2 − B) sin t + A cos t} cos 2tdt
π ⌡0
π ⌡0
2(2 − B) ⌠ π 1
2 ⌠π
⎮
(2 − B) cos 2t sin tdt =
(sin 3t − sin t )dt
=
⎮
⌡0 2
π ⌡0
π
B=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
π
2−B ⎡ 1
2 − B ⎧⎛ 1
⎤
⎞ ⎛ 1
⎞⎫
=
− cos 3t + cos t ⎥ =
⎨⎜ − 1⎟ − ⎜ − + 1⎟ ⎬
⎢
π ⎣ 3
π ⎩⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎭
⎦0
4(2 − B)
=−
3π
⇔ 3π B = −8 + 4 B ⇔ (3π − 4) B = −8 ⇔ B = − 8
3π − 4
8 ⎞
6π
⎛
f ( x) = ⎜ 2 +
よって
sin x
⎟ sin x =
3π − 4 ⎠
3π − 4
⎝
■ 練 習 問 題．
１．次の等式を満たす関数 f ( x) ( x > 0) をすべて求めよ．
e
⌠
f ( x) = log x − 3⎮
⌡1
{ f (t )}
t
2
1
dt
(同志社大)
1
1
π
⎮ 4 f ( y ) sin ydy + sin x を満たすとき，
２． 0 ( x ( 2π で連続な関数 f ( x) が f ( x ) = cos x⌠
⌡0
f ( x) を求めよ．
(津田塾大)
1
1
1
３．次の条件を満たす関数 f ( x) を求めよ．
π
⎮ 2 f (t ) cos tdt , f (0) = 0
f ′( x) = cos x + ⌠
⌡0
1
1
(筑波大)
1
1
1 dt + ⌠ f (t ) dt を満たすとき， f ( x) を求
⎮ t
⌡0 et + 1
⌡0 e + 1
x
４．連続な関数 f ( x) が関係式 f ( x) = e ⌠
⎮
1
(京都工芸繊維大)
めよ．
−2−
477_定積分で表された関数問題の解法［数学Ⅲ］
例題２．《変数型証明》
f ( x) は連続， g ( x) と h( x) は微分可能な関数とすれば，
d ⌠ h( x)
⎮
f (t )dt =
dx ⌡g ( x )
1
(芝浦工業大)
1
1
s 関数 f ( x) の原始関数の 1 つを F ( x) ，すなわち F ′( x) = f ( x) とおくと
h( x)
d ⌠ h( x)
d ⎡
d
⎤
⎮
f (t )dt =
F (t ) ⎥
=
{F (h( x)) − F ( g ( x))}
⎢
⎣
⎦
⌡
g ( x)
dx g ( x )
dx
dx
= F ′(h( x)) ⋅ h′( x) − F ′( g ( x)) ⋅g ′( x)
1
1
1
1
1
1
= f ′(h( x)) ⋅ h′( x) − f ′( g ( x)) ⋅g ′( x)
1
1
1
■ 練 習 問 題．
⎮
５． f ( x) を連続関数とし，a，b は定数とする． g (t ) = ⌠
at
⌡bt
1
f ( x)dx とおくと，
1
1
g ′(t ) = af (at ) − bf (bt )
(津田塾大)
が成り立つことを示せ．
d
dx
６．(1)
d
dx
(2)
⎛ ⌠ 2x
⎜ ⎮ sin tdt
⎝ ⌡1
1
1
1
⎞
⎟ を計算せよ．
⎠
(静岡理工科大)
⎛ ⌠1
⎞
log tdt ⎟ を計算せよ．
⎜⎮
⌡
⎝ x
⎠
1
(静岡理工科大)
1
1
d ⌠ sin 3 x 2t
⎮
e dt を求めよ．
dx ⌡0
1
(3)
(福島大)
1
1
⎮
７． ⌠
2x
⌡0
1
f (t )dt = xe − x を満たす連続関数 f ( x) を求めよ．
1
(関西大)
1
x
⎮ ( x − t ) sin tdt とおくとき， f ′( x) と f ′′( x) を求めよ．
８． f ( x ) = ⌠
1
2
⌡0
1
(東京女子大)
1
x
９．関数 f ( x) = ⌠
⎮ t cos
⌡− x
( π4 − t ) dt
について
(1)
f ( x) の導関数 f ′( x) を求めよ．
(2)
0 ( x ( 2π における f ( x) の最大値と最小値を求めよ．
−3−
(大阪教育大)
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例題３．《変数型》
x
⎮ ( x − t ) f (t )dt = ( x + 1)e
すべての実数 x に対して，等式 ⌠
1
⌡a
−x
1
− 1 が成り立つとする．
1
ただし，a は実数であるとする．
(1) 実数 a の値と関数 f ( x) を求めよ．
y = f ( x) のグラフを，増減，凹凸および変曲点を調べてかけ．ただし，必要なら
−x
(富山大)
ば lim xe = 0 を用いてもよい．
(2)
x →∞
s(1) 与えられた等式から
x
x
y
3
e
⎮ f (t )dt − ⌠
⎮ tf (t )dt = ( x + 1)e − 1 "" ①
x⌠
⌡a
⌡a
①において， x = a を代入すると
0 = (a + 1)e − a − 1 ⇔ e a = a + 1 "" ②
1
1
1
1
1
1
−x
2
y=e x 1
ここで，2 つのグラフ y = e , y = x + 1 は右の図のように点 (0 , 1)
x
で接することから，②を満たす a の値は
-1 O
y =x +1
a=0
x
1
次に，①の両辺を x で微分すると
x
⌠
⎮ f (t )dt + xf ( x) − xf ( x) = e − x − ( x + 1)e− x
⌡a
1
1
（←積の微分法）
1
x
⎮ f (t )dt = − xe − x
⇔ ⌠
⌡a
さらに，上式の両辺を x で微分して
f ( x) = −e − x − x(−e − x ) = ( x − 1)e − x
1
1
1
(2)
(1)の結果から
f ′( x) = e − x + ( x − 1)(−e − x ) = (2 − x)e − x
f ′′( x) = −e − x + (2 − x)(−e − x ) = ( x − 3)e − x
しがたって，増減および凹凸表は次のようになる．
2
x
f ′( x)
＋
f ′′( x)
−
f ( x)
<
0
−
1
e2
3
−
−
−
0
2
e3
=
−
y
＋
1
e2
>
O
1
2
lim xe − x = 0 より
x →∞
lim f ( x) = lim( xe − x − e − x ) = 0
x →∞
lim f ( x) = lim ( x − 1)e
x →−∞
-1
x →∞
x →−∞
−x
= −∞
よって， y = f ( x) のグラフは右の図のようになる．
−4−
y = 0x - 11e -x
3
x
477_定積分で表された関数問題の解法［数学Ⅲ］
例題４．《 f ( x − t ) を含む変数型》
微分可能な関数 f ( x) が，次の関係を満足している．
x
⎮ e −t f ( x − t )dt
f ( x) = 1 + x 2 + ⌠
⌡0
f (0) を求めよ．
(1)
x
1
1
1
x
⌠
⎮ e −t f ( x − t )dt = e − x ⌠
⎮ et f (t )dt が成り立つことを示せ．
⌡0
⌡0
f ( x) の導関数 f ′( x) を求めよ．
f ( x) を求めよ．
(2)
(3)
(4)
1
1
1
1
1
1
0
(岡山県立大)
⎮ e −t f (0 − t )dt = 1
f (0) = 1 + 02 + ⌠
⌡0
x − t = u とおくと， t = x − u より dt = − du
s(1)
1
1
(2)
したがって
x
0
x
⌠
⎮ e −t f ( x − t )dt = ⌠
⎮ e − x +u f (u ) ⋅ (−1)du = ⌠
⎮ e − x +u f (u )du
⌡0
⌡x
⌡0
1
1
1
1
1
1
x
x
⎮ eu f (u )du = e − x ⌠
⎮ et f (t )dt
= e− x ⌠
⌡0
⌡0
よって，与式は成り立つ．
(3)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
（←定積分は文字によらない）
■
x
⎮ et f (t )dt
f ( x) = 1 + x 2 + e− x ⌠
⌡0
(2)の結果から
0→x
x→0
t
u
1
①の両辺を x で微分して
1
1
"" ①
1
（↓積の微分法）
x
x
⎮ et f (t )dt + e − x ⋅ e x f ( x) = 2 x − e− x ⌠
⎮ et f (t )dt + f ( x)
f ′( x) = 2 x −e − x ⌠
⌡0
⌡0
1
x
1
1
1
1
1
{
x
⌠ et f (t )dt + 1 + x 2 + e − x ⎮
⌠ f (t )dt
= 2 x − e− x ⎮
⌡0
⌡0
1
1
1
}
1
1
1
= x2 + 2 x + 1
(4)
(3)の結果から
⎮ ( x 2 + 2 x + 1)dx = 1 x3 + x 2 + x + C （C は積分定数）
f ( x) = ⌠
⌡
3
(1)より， f (0) = 1 であることから
C =1
よって，求める関数 f ( x) は
f ( x) = 1 x3 + x 2 + x + 1
3
1
1
1
■ 練 習 問 題．
x
⎮ f (t )dt = e
10． ⌠
⌡a
1
1
2x
− 2 であるとき， a = ア , f ( x) = イ である．
(東海大)
1
⎮
11．1 次関数 f ( x) が ⌠
3x+2
⌡a
1
f (t )dt = x 2 + 3 x を満たすとき， f ( x) = ア であり，a = イ
1
1
(南山大)
である．
−5−
http://www.geocities.jp/ikemath
x
⎮ f (t )e
12．関係式 f ( x ) + ⌠
⌡0
x −t
1
dt = sin x を満たす微分可能な関数 f ( x) を考える． f ( x) の導
1
1
関数 f ′( x) を求めると， f ′( x) =
となる． f (0) =
ア
イ であるから f ( x) = ウ と
(横浜市立大)
なる．
x
⎮ e f ( x − t )dt とおく．
13．連続関数 f ( x) を用いて F ( x) = ⌠
⌡0
1
−t
1
1
(1)
f ( x) = x のとき， F ( x) を求めよ．
(2)
F ( x) = 1 − cos x のとき， f ( x) を求めよ．
(山梨大)
例題５．《混合型》
次の 2 つの関係を満たす実数 a および関数 f ( x) , g ( x) を求めよ．
x
1
⌠ f (t )dt = x g ( x) + ax + 3 , g ( x) = x 2 + x⎮
⌠ f (t )dt + 1
⎮
⌡1
⌡0
s
x
1
1
1
1
1
1
1
(信州大)
⌠
⎮ f (t )dt = x g ( x) + ax + 3 "" ① , g ( x) = x 2 + x⌠
⎮ f (t )dt + 1 "" ②
⌡1
⌡0
1
1
1
1
1
1
1
⎮ f (t )dt = C （C は定数）とおくと
とおく．②において， ⌠
1
⌡0
2
g ( x) = x + Cx + 1 "" ③
f ( x) = g ( x) + x g ′( x) + a
①の両辺を x で微分すると
1
1
③を代入して
f ( x) = ( x 2 + Cx + 1) + x(2 x + C ) + a = 3 x 2 + 2Cx + a + 1
したがって
1
1
⌠ f (t )dt = ⎮
⌠ (3t 2 + 2Ct + a + 1)dt = ⎡t 3 + Ct 2 + (a + 1)t ⎤
C =⎮
⎣
⎦0
⌡0
⌡0
= 1 + C + a + 1 = C + a + 2 ⇔ a = −2
①において， x = 1 を代入すると 0 = g (1) + a + 3 ⇔ g (1) = −3 − (−2) = −1
1
1
1
1
1
1
1
g (1) = 12 + C + 1 = C + 2
③において， x = 1 を代入すると
C + 2 = −1 ⇔ C = −3
f ( x) = 3x 2 − 6 x − 1 , g ( x) = x 2 − 3x + 1
よって
ゆえに
■ 練 習 問 題．
x
⎮ f (t )dt = x − sin x cos x +
14．連続関数 f ( x) が等式 ⌠
⌡0
1
1
1
1
(東京理科大)
2x
⌡a
き， f ( x) =
1
1
f ( x) を求めよ．
⎮
15．関数 f ( x) が ⌠
π
x⌠
⎮ f (t )dt を満たしているとき，
π ⌡− π
1
⎮ f (t )dt を満たすとき， a = ア であり，このと
f (t )dt = xe x + x⌠
⌡0
1
1
1
1
1
1
(久留米大)
イ となる．
−6−

宿題7（ルーズリーフ等の切り離しのできる紙に解答して提出すること) 1. 0

dv m kx dt dx v dt

数理工学第二中間試験問題 (改訂版)

複素数値関数の微分 · 積分 &gt

複素関数論演習問題解答

2回目 - 佐藤(邦)

レポート2問題

Untitled - Almacenhg.es

ベクトルの微分と積分

演習12 学籍番号 氏名 (1) 教科書 98 ページ演習問題(2)の図