数学解析問 9
年
組
(2014 年 7 月 6 日出題、裏面使用可、7 月 14 日 9:00 までレポート提出 BOX に投函)
番
氏名
(担当桂田)
(1) f : Rn → Rn が C 1 級とするとき、h(x) := (f (x), f (x)) (x ∈ Rn ) とおく (ここで (·, ·) は
(
)T
∂h
∂h
n
,...,
を f を用いて表せ (結果を授業
R の内積とする)。このとき ∇h(x) =
∂x1
∂xn
で使う)。


r sin θ cos ϕ


(2) φ(r, θ, ϕ) =  r sin θ sin ϕ  ((r, θ, ϕ) ∈ [0, ∞) × [0, π] × [0, 2π]) とするとき、
r cos θ
(a) φ のヤコビ行列 φ′ (r, θ, ϕ) を求めよ。(b) φ のヤコビアン det φ′ (r, θ, ϕ) を計算せよ。
(c) φ′ (r, θ, ϕ) の 3 個の列ベクトルのどの 2 つも互いに直交することを確かめよ。(d) φ′ (r, θ, ϕ)
の逆行列を求めよ。 ((a), (b) が必修で、(c), (d) はおまけです。)
問 9 解説
(1)
h(x) = (f (x), f (x)) =
n
∑
fk (x)2
k=1
であるから、

 ∑
n
∂fk
fk (x)
(x)
 2
 ∂h
∂x1 
(x)

 k=1
∂x1

 ..  
.
.
..
∇h(x) =  .  = 




n
∂h
∑
∂f
(x)


k
∂xn
(x)
2
fk (x)
∂xn
k=1
(♯)
行列とベクトルの積の定義を思い出しつつ 1 、この式を落ち着いて眺めていると、



∂f1
∂f2
∂fn
(x)
(x)
·
·
·
(x)
f1 (x)
∂x1
∂x1
∂x1
 ∂f1

∂f2
n

 ∂x2 (x) ∂x
(x) · · · ∂f
(x) 
 f2 (x) 
∂x
2
2

(♭)
∇h(x) = 2 
. .
..
..  
...
 ..
.
.   .. 
 .
∂f1
(x)
∂xn
∂f2
(x)
∂xn
···
∂fn
(x)
∂xn
fn (x)
f のヤコビ行列は

(
′
f (x) =
∂f1
(x)
∂x1
 ∂f2
 ∂x1 (x)

)
∂fi
(x) = 
∂xj

..
.
∂fn
(x)
∂x1
∂f1
(x)
∂x2
∂f2
(x)
∂x2
···
···
...
..
.
∂fn
(x) · · ·
∂x2

∂f1
(x)
∂xn

∂f2
(x)
∂xn

.. 
. 
∂fn
(x)
∂xn
であるから、(♭) の右辺の行列は f ′ (x)T である。ゆえに
∇h(x) = f ′ (x)T f (x).
あるいは、授業中に言ったように、∇h(x) が 2f ′ (x)T f (x) に等しくなることを知っていれ
ば、f ′ (x)T f (x) を計算して、それが (♯) の右辺に等しいことを確認しても良い。
(2) (a)

∂φ1
 ∂r
 ∂φ
 2
φ′ (r, θ, ϕ) = 
 ∂r
 ∂φ3
∂r
∂φ1
∂θ
∂φ2
∂θ
∂φ3
∂θ

∂φ1


∂ϕ 
sin
θ
cos
ϕ
r
cos
θ
cos
ϕ
−r
sin
θ
sin
ϕ
∂φ2 

 
 =  sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ  .
∂ϕ 
cos θ
−r sin θ
0
∂φ3 
∂ϕ
(b) 行列式は、Sarrus の規則を使って
det φ′ (t, θ, ϕ) = 0 + r2 sin3 θ sin2 ϕ + r2 sin θ cos2 θ cos2 ϕ + r2 sin θ cos2 θ sin2 ϕ + r2 sin3 θ cos2 ϕ
= r2 sin3 θ(sin2 ϕ + cos2 ϕ) + r2 sin θ cos2 θ(cos2 ϕ + sin2 ϕ)
= r2 sin3 θ + r2 sin θ cos2 θ = r2 sin θ
1
n 次正方行列 A = (aij ) と n 次元ベクトル b = (bj ) の積 Ab は n 次元ベクトルで、その第 i 成分は
n
∑
j=1
である。
aij bj
としても良いし、例えば 3 列目で展開して
sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ −r sin θ sin ϕ
′
det φ (r, θ, ϕ) = sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ
−r sin θ
0
sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ
= (−1)1+3 (−r sin θ sin ϕ) cos θ
−r sin θ sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ
+ (−1)2+3 r sin θ cos ϕ cos θ
−r sin θ = r2 sin θ sin2 ϕ + r2 sin θ cos2 ϕ = r2 sin θ.
(c) 内積が 0 であることを確かめれば良い。(これは「数学解析」としては必要ないが、重
要な事実。それで、次のようにして、逆行列が求まる。何次元の極座標についても成
り立つ。)
(d) A := φ′ (r, θ, ϕ), A = (a b c) とすると
 

 
 

aT (
aT a aT b aT c
aT a 0
0
1 0
0
)
 

 
 

A T A =  b T  a b c =  b T a b T b b T c  =  0 b T b 0  = 0 r 2
0 .
cT
cT a c T b c T c
0
0 cT c
0 0 r2 sin2 θ
これから

A−1

 
sin θ cos ϕ
sin θ sin ϕ
cos θ
aT


 
 1 T  1

1
1




cos
θ
cos
ϕ
cos
θ
sin
ϕ
−
sin
θ
b
=  r2
.
 = r
r
r


 
 1

 
cos
ϕ
sin
ϕ
T
c
−
0
−
r2 sin2 θ
r sin θ
r sin θ