数チャレ第157回 (2014年2月)

数チャレ第 157 回 (2014 年 2 月)
整数 m, n が 1 m < n を満たすとき，次の問いに答えよ。
(1) x > 3 ならば，不等式
(mx − 1)(nx − 1) > x2 + 1
が成り立つことを示せ。
1
1
, tan β =
(2) tan α =
を満たし，かつ tan(α + β) の値が整数となる角度
m
n
α, β があるとする。このような (m, n) の組をすべて求めよ。
出典：2004 年熊本大学
解答
(1) 1 m < n のとき
mn − 1 1 × 2 − 1 > 0
であることに注意する。
(mx − 1)(nx − 1) − (x2 + 1) = (mn − 1)x2 − (m + n)x
m+n = (mn − 1)x x −
mn − 1
m+n
3 が示されれば証明は終わる。
であるから，
mn − 1
3(mn − 1) − (m + n) = 3mn − m − n − 3
1 10
1 n−
−
=3 m−
3
3
3
1
10
1 2−
−
=0
3× 1 −
3
3
3
m+n
3 < x であるから，
より
mn − 1
x > 3 ならば (mx − 1)(nx − 1) > x2 + 1
(証明おわり)
が成り立つ。
1
1
, tan β =
のとき，加法定理より
m
n
1
1
+
m+n
tan α + tan β
m
n
=
=
tan(α + β) =
1 − tan α tan β
mn − 1
1 q 1
1−
m n
(1)の考察より， 1 m < n のとき
m+n
3
0<
mn − 1
(2) tan α =
— 1 —
であるから， tan(α + β) =
m+n
が整数であるとすれば，
mn − 1
m+n
は 1, 2, 3 のいずれか
mn − 1
となる。
m+n
= 1 のとき
(i)
mn − 1
mn − 1 = m + n
∴ (m − 1)(n − 1) = 2
0 m − 1 < n − 1 を考えて，
m − 1 = 1 かつ n − 1 = 2
∴ (m, n) = (2, 3)
m+n
= 2 のとき
(ii)
mn − 1
1
mn − 1 = (m + n)
2
1
5
1 n
−
=
m−
2
2
4
∴ (2m − 1)(2n − 1) = 5
1 2m − 1 < 2n − 1 を考えて，
2m − 1 = 1 かつ 2n − 1 = 5
∴ (m, n) = (1, 3)
m+n
= 3 のとき
(iii)
mn − 1
(1)における不等式の等号成立条件をより
(m, n) = (1, 2)
以上より，求める整数の組は
(m, n) = (1, 2), (1, 3), (2, 3)
— 2 —
(答)

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