Differential Equations Problem Set 1, Answers to Supplementary

Diﬀerential Equations Problem Set 1, Answers to Supplementary Problems
June 2014
[2]
(1)
y = Ce2x − 1/2,
y 2 = log(C(x2 + 1)),
(2)
(3)
れは一般解において C → ∞ として得られる。
3 /3
(4)
y = −1 + Cex+x
(6)
y 5 /5 + 3y 2 /2 = x3 /3 + x + C
,
y=
Cex
および定常解 y = 1、こ
Cex + 1
(5) y 2 /2 + log |y| = ex + C および定常解 y = 0(これは特異解）,
[4]
(1)
y = 1/(x + 2),
(2)
(4)
y = tan(x2 /2 + π/4)
y = 0,
(3)
y=−
√
4 + (2/3) log(x3 + 1)
[6] どちらも完全微分方程式ではない。同次型微分方程式の問題である。
( y
)
1
(1) log |x| = − log 2( )2 + 1 + C,
4
x
(2)
同次型だから u = y/x とおいて u に関する方程式になおすと u0 x = eu 。これを変数分離で
解くと −e−u = log |x| + C 。解曲線という広い意味での解と考えれば一般解として次の表現で十
分である。y = の形に敢えて書き直す必要はない。
e−y/x + log |x| + C = 0
[7] 同次型方程式＋初期条件
u = y/x とおいて u に関する方程式になおすと u0 x = cos(u − 1)。よって
∫
∫
1
1
du =
dx
cos(u − 1)
x
微分積分１の演習の時に学んだ次の式を使う。
∫
1
dθ = logsec θ + tan θ + C
cos θ
但し sec θ = 1/ cos θ である。したがって
logsec(u − 1) + tan(u − 1) = log |x| + C
1
初期条件から x = 2, y = 2 ⇒ u = 1。これを代入して C = − log 2。よって求める解は
(y
)
(y
)
log |x| − log | sec
− 1 + tan
− 1 | = log 2。
x
x
[10]
ベルヌイの方程式で n = 2 の場合。よって u = y 1−2 = 1/y として u の関する微分方程式の
直して u0 − u = −x2 。斉次方程式の一般解として u = Cex 。非斉次方程式の特殊解を例えば代入
法で求めて、u = x2 + 2x + 2。したがって一般解は u = Cex + x2 + 2x + 2。よって求める解は
1
y=
Cex + x2 + 2x + 2
[11]
(2)
y = (3/2)e−x + Cex ,
(1)
y = x + C/x,
(4)
y = x2 − 2x + 2 + Ce−x
(3)
y = x + (1 + x2 )(tan−1 x + C),
[12]
x2 + 2x + 3
,
1+x
(2)
y = x + 2/x,
(1)
y=
[14]
完全微分方程式
1 2
1
x + xy + y 3 + C = 0, (2)
2
3
(y 1
)
− sin 2y sin x + C = 0
2 4
(1)
(3)
(3)
y = 2x3 + 5x2
ex + x log y + y log x − cos y + C = 0,
2
[16]
(1)
(2)
1
1
x
がとれる。 x2 + + C = 0,
y2
2
y
µ = xm y n とおくと P = xm+1 y n + 2xm y n+1 , Q = −xm+1 y n 。
µ=
Py = nxm+1 y n−1 + 2(n + 1)xm y n = Qx = −(m + 1)xm y n から n = 0, 2(n + 1) = −(m + 1)。こ
1
y
れから m = −3, n = 0、したがって積分因子として µ = x13 がとれる。− − 2 + C = 0
x x
3

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