テキスト

求積法（つづき）
2
1 階の線形微分方程式
2.3
1 次の微分方程式
y 0 + P (x)y = Q(x)
(1)
を 1 階線形微分方程式 (linear diﬀerential equation of first order) という。二つの場合に分けて、解き方を紹介
する。
• Q(x) = 0 のとき、方程式は同次、または斉次 (homogeneous) であるといい、
y 0 + P (x)y = 0
という形になる。これは変数分離形であるから容易に解くことができて、一般解は
y(x) = Ce−
∫
P (x) dx
C∈R
,
(2)
と表される。
• Q(x) = 0 でないとき、方程式は非同次、または非斉次 (inhomogeneous) であるという。この場合は、方程
式を解くためにまず Q(x) = 0 とした同次の方程式を解く。次に、上で求まった一般解 (2) の積分定数 C を
x の関数とみて、y(x) が方程式 (1) の解になるように C(x) の具体的な形を決める。つまり、(2) の定数部
分を x の関数で置き換えた
∫
y(x) = C(x)e− P (x) dx
というものをもとの方程式 (1) に代入して、C(x) を求める。解であるためには
y 0 (x) = C 0 (x)e−
∫
P (x) dx
+ C(x)(−P (x))e−
∫
P (x) dx
= −P (x)y(x) + Q(x)
が成り立たなければならない。y(x) に解の形を入れると、
C 0 (x)e−
∫
P (x) dx
+ C(x)(−P (x))e−
∫
P (x) dx
が得られる。従って、
C 0 (x) = Q(x)e
∫
= −P (x)C(x)e−
∫
P (x) dx
+ Q(x)
P (x) dx
という C に対する方程式を得る。これを積分し、
∫
∫
C(x) = Q(x)e P (x) dx + C˜
(2) に代入すると、
y(x) = e−
∫
P (x) dx
{∫
∫
Q(x)e
P (x) dx
+ C˜
}
が (1) の解になる。以上の解法を定数変化法 (method of variation of constants) と呼ぶ。
例.
y 0 = −y cos x + e− sin x
• まず、同次方程式 y 0 = −y cos x を解く。
∫
∫
dy
= − cos x dx
y
log |y| = − sin x + C1
y(x)
=
1
Ce− sin x
• 定数変化法を用いて、解を次の形で求める：
y(x) = C(x)e− sin x
(3)
この微分は
y 0 (x) = C 0 (x)e− sin x − C(x) cos xe− sin x
であるので、方程式に y と y 0 を代入すれば、
C 0 (x)e− sin x − C(x) cos xe− sin x = −C(x) cos xe− sin x + e− sin x
˜ がわかる。これ
という条件になる。これを整理すると、C 0 (x) = 1 という条件に帰着され、C(x) = x + C
を (3) で使うと、微分方程式の一般解が得られる：
˜
y(x) = e− sin x (x + C),
2.4
C˜ ∈ R
2 階定数係数線形微分方程式
y 00 + py 0 + qy = r(x)
(4)
という形の方程式を扱う。ただし、ここでは p, q は定数で r は関数である。
2.4.1
同次方程式
1 階方程式と同様に、最初は同次方程式
y 00 + py 0 + qy = 0
(5)
を解く。ここで、y(x) = eλx と置いてみよう。
y 00 + py 0 + qy = eλx (λ2 + pλ + q)
を得る。つまり、λ が
λ2 + pλ + q = 0
(6)
を満たせば、y(x) = eλx は (5) の解になる。方程式 (6) を微分方程式 (5) の特性方程式 (characteristic equation)
とよぶ。特性方程式は一般に２つの解 λ1 , λ2 をもつ。つまり、y1 (x) = eλ1 x と y2 (x) = eλ2 x という２つの独立な
解を得る。
そこで、次の重ね合わせの原理に注目する。つまり、y(x) が (5) の解であれば、その定数倍 Cy(x) も解である。
また、y1 (x) と y2 (x) が (5) の２つの解であれば、y1 (x) + y2 (x) も解になる。より一般に、y1 (x), y2 (x) が (5) の
解であれば、その任意の 1 次結合 C1 y1 (x) + C2 y2 (x) も (5) の解になる。
さらに、(5) のすべての解を C1 y1 (x) + C2 y2 (x) の形で表されるということが証明できる。そういう意味では、
y1 (x), y2 (x) はすべての一般解が成すベクトル空間の基底である。基底を与える解の組を基本解 (fundamental
solution) という。
注： 2 階定数係数線形方程式の場合、基本解が２つあって、一般解の空間は 2 次元の空間であるが、一般に
m 階定数係数線形方程式を考えた場合、解空間は m 次元のもので、m 個の独立な基本解が存在することになる。
解の公式以上の考察から、方程式 (5) の解の公式を得る。(5) の一般解は次のように与えられる：
1. p2 − 4q > 0 のとき、2 次方程式 (6) が２つの異なる実数の解 λ1 , λ2 をもつので、一般解は
y(x) = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x
となる。
2
(7)
2. p2 − 4q < 0 のとき、(6) の解を α ± iβ （互いに共役な複素数）とすると、一般解は
y(x) = eαx (C1 cos βx + C2 sin βx)
(8)
である。
（この形は (e(α+iβ)x + e(α−iβ)x )/2 と (e(α+iβ)x − e(α−iβ)x )/2i という二つの解の線形結合として得
られる。）
3. p2 − 4q = 0 のとき、(6) の重解を λ = −p/2 とすると、
y(x) = eλx (C1 x + C2 )
(9)
例. 単振動の方程式
y 00 + ω 2 y = 0,
ω>0
の一般解を実数値関数として求める。
特性方程式は λ2 + ω 2 = 0 であり、この解は ±iω である。従って、方程式の２つの解を次のように書ける：
y1 (x) =
eiωx = cos ωx + i sin ωx
y2 (x) =
e−iωx = cos ωx − i sin ωx
しかし、方程式が実数範囲で与えられているので、解も実数値関数が望ましい。そこで、上の二つの関数の任意
の 1 次結合が解になるので、次の関数も方程式の解であることに気づく。
z1 (x)
=
z2 (x)
=
1
{y1 (x) + y2 (x)} = cos ωx
2
1
{y1 (x) − y2 (x)} = sin ωx
2i
一般解はその線形結合
y(x) = C1 cos ωx + C2 sin ωx
で与えられる。
例. 微分方程式
y 00 + 3y 0 + 2y = 0
の一般解を求める。
特性方程式は λ2 + 3λ + 2 = 0 であり、これは (λ + 1)(λ + 2) = 0 と因数分解されるので、λ1 = −1, λ2 = −2
が根である。一般解は eλ1 x と eλ2 x の 1 次結合
y(x) = C1 e−x + C2 e−2x
で与えられる。
2.4.2
非同次方程式
微分方程式 (4) において、r(x) 6= 0 の場合について考える。(4) の一般解を y(x) とし、(4) の一つの解 y0 (x) が
何らかの方法で見つかったとする。そのとき、
z(x) = y(x) − y0 (x)
という関数がみたす方程式を導いてみよう。
z 00 + pz 0 + qz = (y 00 + py 0 + qy) − (y000 + py00 + qy0 ) = r(x) − r(x) = 0
3
従って、z が同次 2 階線形微分方程式 z 00 + pz 0 + qz = 0 を満たす。その一般解は計算でき、基本解 y1 (x), y2 (x)
の線形結合 z(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) で与えられる。よって、(4) の一般解は
y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y0 (x)
となる。すなわち、非同次方程式 (4) の一般解は次の手順で計算できる：
1. 何らかの方法で非同次方程式の一つの解 y0 (x) を計算する（これを特殊解という）
2. r(x) = 0 とおいた同次方程式の一般解 C1 y1 (x) + C2 y2 (x) を求める
3. 一般解は y(x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + y0 (x) となる
特殊解を求める一般的な方法はないが、計算法が知られている r(x) の特別な形はある。例えば、
• r(x) = a = 定数のとき、y0 (x) = α = 定数という形で求めることができる
• r(x) = aekx , a, k ∈ R のとき、y0 (x) = Cekx という形で求めることができる
• r(x) = ax + b のとき、y0 (x) = αx + β という形で求めることができる
• r(x) = ax2 + bx + c のとき、y0 (x) = αx2 + βx + γ という形で求めることができる
例. 微分方程式
y 00 + 3y 0 + 2y = e2x
の一般解を求める。
1. 特殊解を計算する。y0 (x) = Ce2x という形で求める。方程式に代入すると、
y000 + 3y00 + 2y0 = 4Ce2x + 6Ce2x + 2Ce2x = 12Ce2x = e2x
よって、C = 1/12 と置けば、y0 は解になる。
2. 右辺を 0 にした同次方程式の一般解は C1 e−x + C2 e−2x である（上の例を参照）
3. 一般解は y(x) = C1 e−x + C2 e−2x +
1 2x
12 e
となる
4

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