レポート解答8

2014 年数学通論 I 演習解答 8 (津川光太郎)
間違いを見つけたら教えて下さい.
1 (1) ex = t とおき両辺を t で微分すると ex dx
= 1. よって
dt
∫ t−1
∫ dt
dx
= t+t−1 dt = t2 +1 = arctan t = arctan ex
ex +e−x
dx
dt
= (ex )−1 = t−1 より
(2) 1 + 3x = t とおき両辺を t で微分すると 3 dx
= 1. よって
dt
∫ dx
∫ dt
√
2
2
1/2
√
= 3√t = 3 t = 3 1 + 3x
1+3x
dx
dt
= 1/3 より
∫
= 1. よって
(3) 1 + x2 = t とおき両辺を t で微分すると 2x dx
dt
∫ x dx
∫
1
= 12 dt
= − 4t12 = − 4(1+x
2 )2
(1+x2 )3
t3
dx
dt
=
1
2x
より
(4) cos x = t とおき両辺を t で微分すると − sin x dx
= 1. よって dx
= −1/ sin x より
dt
dt
∫ sin x
∫ dt
dx = − t3 = 2t12 = 2 cos1 2 x
cos3 x
(
) ∫
∫
(5) 部分積分により x2 e3x dx = x2 · 13 e3x − 23 xe3x dx. 右辺の第二項についてさら
(
)
∫
2
に部分積分を用いて (右辺)= 31 x2 e3x − 32 x · 13 e3x + 29 e3x dx = e3x 31 x2 − 29 x + 27
(6) 条件より −|a| < x < |a| なので, x = |a| sin t (ただし − π/2 < t < π/2) とおけば
∫
∫
∫ 2 dx
∫ sin2 t
dx
2
√
cos t dt = a2 sin2 t dt = a2 (1−cos 2t)/2 dt =
= |a| cos t より √xa2 −x
2 = a
dt
2
1−sin t
√
a2
1
a2
a2
x
x
(t
−
sin
2t)
=
(t
−
sin
t
cos
t)
=
arcsin
−
a2 − x2
2
2
2
2
|a|
2
[
]2 ∫ 2
x2 e2x dx = x2 · 12 e2x 0 − 0 xe2x
0
∫
2
1 2 2x
e dx = 2e4 − e4 + 14 [e2x ]0 = 54 e4 − 14
2 0
√
= 1/ cos x, t : 0 → 1/ 2 より
(2) sin x = t とおくと dx
dt
√
[
] √
∫ π/4
∫ 1/√2
5 2
1 3 1/ 2
2
3
(1
−
t
)dt
=
t
−
cos
x
dx
=
t
=
3
12
0
0
0
dx
2
(3) x + 1 = t とおくと 2x dt = 1, t : 1 → 5 より
∫5
∫2
x log(x2 + 1) dx = 21 1 log t dt = 12 [t log t − t]51 = 52 log 5 − 2
0
2 (1) 部分積分により
3 以下,
∫c
b
f (x) dx =
∫c
a
∫2
f (x) dx−
∫b
a
[
]2
dx = 2e4 − x · 21 e2x 0 +
d
f (x) dx および, 連続関数 f にたいして dx
∫x
a
f (t) dt =
f (x) が成立することを用いる.
∫ x+1
∫ x+1
∫ −x
∫x
d
d
d
d
(1) dx
f
(2t)
dt
=
f
(2t)
dt
−
f
(2t)
dt
=
f (2t + 2) dt −
dx a
dx a
dx a−1
−x
∫
x
d
f (−2t) dt = f (2x + 2) − f (−2x)
dx −a
∫ 2x
∫ 2x
∫x
∫x
∫x
d
d
d
d
d
2
2
2
tf
(t
)
dt−
tf
(t
)
dt
=
4tf
(4t
)
dt−
tf (t2 ) dt =
(2) dx x tf (t2 ) dt = dx
dx a
dx a/2
dx a
a
4xf (4x2 ) − xf (x2 )
∫ π/2
∫1
dt
4 (1)t = sin x とおいて 0 f (sin x) dx = 0 f (t) √1−t
2
∫ π/2
∫0
∫1
dt
dt
一方, t = cos x とおくと 0 f (cos x) dx = 1 f (t) −√1−t2 = 0 f (t) √1−t
2
∫π
∫ π/2
∫π
(2) 0 f (sin x) dx = 0 f (sin x) dx + π/2 f (sin x) dx
∫π
∫0
∫ π/2
ここで x = π − t とおけば π/2 f (sin x) dx = − π/2 f (sin(π − t)) dt = 0 f (sin t) dt (∵
sin(π − t) = sin t) よって与えられた等式が成り立つ。

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