2014 年 数学通論 I 演習解答 8 (津川 光太郎) 間違いを見つけたら教えて下さい. 1 (1) ex = t とおき両辺を t で微分すると ex dx = 1. よって dt ∫ t−1 ∫ dt dx = t+t−1 dt = t2 +1 = arctan t = arctan ex ex +e−x dx dt = (ex )−1 = t−1 より (2) 1 + 3x = t とおき両辺を t で微分すると 3 dx = 1. よって dt ∫ dx ∫ dt √ 2 2 1/2 √ = 3√t = 3 t = 3 1 + 3x 1+3x dx dt = 1/3 より ∫ = 1. よって (3) 1 + x2 = t とおき両辺を t で微分すると 2x dx dt ∫ x dx ∫ 1 = 12 dt = − 4t12 = − 4(1+x 2 )2 (1+x2 )3 t3 dx dt = 1 2x より (4) cos x = t とおき両辺を t で微分すると − sin x dx = 1. よって dx = −1/ sin x より dt dt ∫ sin x ∫ dt dx = − t3 = 2t12 = 2 cos1 2 x cos3 x ( ) ∫ ∫ (5) 部分積分により x2 e3x dx = x2 · 13 e3x − 23 xe3x dx. 右辺の第二項についてさら ( ) ∫ 2 に部分積分を用いて (右辺)= 31 x2 e3x − 32 x · 13 e3x + 29 e3x dx = e3x 31 x2 − 29 x + 27 (6) 条件より −|a| < x < |a| なので, x = |a| sin t (ただし − π/2 < t < π/2) とおけば ∫ ∫ ∫ 2 dx ∫ sin2 t dx 2 √ cos t dt = a2 sin2 t dt = a2 (1−cos 2t)/2 dt = = |a| cos t より √xa2 −x 2 = a dt 2 1−sin t √ a2 1 a2 a2 x x (t − sin 2t) = (t − sin t cos t) = arcsin − a2 − x2 2 2 2 2 |a| 2 [ ]2 ∫ 2 x2 e2x dx = x2 · 12 e2x 0 − 0 xe2x 0 ∫ 2 1 2 2x e dx = 2e4 − e4 + 14 [e2x ]0 = 54 e4 − 14 2 0 √ = 1/ cos x, t : 0 → 1/ 2 より (2) sin x = t とおくと dx dt √ [ ] √ ∫ π/4 ∫ 1/√2 5 2 1 3 1/ 2 2 3 (1 − t )dt = t − cos x dx = t = 3 12 0 0 0 dx 2 (3) x + 1 = t とおくと 2x dt = 1, t : 1 → 5 より ∫5 ∫2 x log(x2 + 1) dx = 21 1 log t dt = 12 [t log t − t]51 = 52 log 5 − 2 0 2 (1) 部分積分により 3 以下, ∫c b f (x) dx = ∫c a ∫2 f (x) dx− ∫b a [ ]2 dx = 2e4 − x · 21 e2x 0 + d f (x) dx および, 連続関数 f にたいして dx ∫x a f (t) dt = f (x) が成立することを用いる. ∫ x+1 ∫ x+1 ∫ −x ∫x d d d d (1) dx f (2t) dt = f (2t) dt − f (2t) dt = f (2t + 2) dt − dx a dx a dx a−1 −x ∫ x d f (−2t) dt = f (2x + 2) − f (−2x) dx −a ∫ 2x ∫ 2x ∫x ∫x ∫x d d d d d 2 2 2 tf (t ) dt− tf (t ) dt = 4tf (4t ) dt− tf (t2 ) dt = (2) dx x tf (t2 ) dt = dx dx a dx a/2 dx a a 4xf (4x2 ) − xf (x2 ) ∫ π/2 ∫1 dt 4 (1)t = sin x とおいて 0 f (sin x) dx = 0 f (t) √1−t 2 ∫ π/2 ∫0 ∫1 dt dt 一方, t = cos x とおくと 0 f (cos x) dx = 1 f (t) −√1−t2 = 0 f (t) √1−t 2 ∫π ∫ π/2 ∫π (2) 0 f (sin x) dx = 0 f (sin x) dx + π/2 f (sin x) dx ∫π ∫0 ∫ π/2 ここで x = π − t とおけば π/2 f (sin x) dx = − π/2 f (sin(π − t)) dt = 0 f (sin t) dt (∵ sin(π − t) = sin t) よって与えられた等式が成り立つ。
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