海城生に答えます ∼答えの一案∼
K. S. dy 2
dy
= 2y
となる理由がわからない.
dx
dx
◆
回答
これは ⌈ 合成関数の微分 ⌋ です. まず, z = y 2 とおきます. このとき
dy 2
dz
=
dx
dx
··· 1
合成関数の微分を用いると
dz
dy
dz
=
·
dx
dy
dx
ここで,
つまり
··· 2
dz
は ⌈z を y で微分する ⌋ すなわち ⌈y 2 を y で微分する ⌋ ことを表しています.
dy
d 2
dz
=
y = 2y · · · 3
dy
dy
1, 2, 3 より
dy 2
dy
= 2y
dx
dx
が成り立ちます.
○ 注意点
d2 y
,
dx2
dy
dx
2
等との区別を明確にしましょう.
d2 y
は
dx2
d
d2 y
=
2
dx
dx
dy
dx
ですから, y を x で 2 回微分したもの (第 2 次導関数) です.
dy
dx
2
は
dy
を 2 乗したもの, つまり, y を x で微分して, それを 2 乗したものです.
dx
○ 本題の類題を考えてみましょう.
d
y
dy
問
を示しなさい.
2 cos2
= − sin y ·
dx
2
dx
y
z=
, u = cos z, v = 2u2 とおくと
2
dv
d
2 y
2 cos
=
dx
2
dx
dv
du
dz
dy
=
·
·
·
du
dz
dy
dx
d
d
y
dy
d
2u2 ·
cos z ·
=
·
du
dz
dy 2
dx
dy
1
·
2
dx
1
dy
y
)·
·
= 4 cos z · (− sin
2
2
dx
y
y
1
dy
= 4 cos
· (− sin
)·
·
2
2
2
dx
y
y
dy
= −2 sin
cos
·
2
2
dx
dy
= − sin y ·
dx
= 4u · (− sin z) ·
■