講義資料

P.33
有効数字のまとめ
• ① 加法，減法のときは，原則としてその中で一
番小数点以下の桁数の少ないものにそろえなく
てはならない．
小数点以下1桁が１つあるから
例3の場合，24.75→24.8
• ②乗法，除法のときは，原則としてその中で一
番有効数字の桁数の少ないものにそろえなくて
はならない．
2桁×2桁だから
例4の場合，55.35→55
• ただし，このことは最終的な答えを出すときのこ
とであって，途中の計算では、四捨五入しない．
問1 2辺の長さx,yがそれぞれ58.263－0.005(m)≦x＜
58.263＋0.005(m)，87.346－0.005(m)≦y＜87.346＋
0.005(m)の長方形の土地がある．周囲の長さおよび面
積を求め，誤差を評価せよ．
周囲の長さ:(58.263 + 87.346) × 2 = 291.218
誤差の限界:(0.005 + 0.005) × 2 = 0.020
面積:58.263 × 87.346 = 5089.03998
← 5桁×5桁だか
ら5桁に四捨五入
0.005
0.005
+
= 0.00014306 面積は小数点以下１位
まで有効だから、
58.263 87.346
←第2位を切り上げ
≦ 5089.03998 × 0.00014306 = 0.727
（答
周囲の長さ：291.218 (m)で誤差は±0.020(m)以内,
面積：5.0890×103(m2)で誤差は±0.8(m2)以内）
問3 下底x, 上底yおよび高さhがそれぞれ23.45－
0.05(m)≦x＜23.45＋0.05(m)，15.38－0.05(m)≦y＜
15.38＋0.05(m)， 87.63－0.05(m)≦h＜87.63＋0.05(m)
の台形の土地がある．面積(x+y)h/2を求め，誤差を評
x + y = 23.45 + 15.38 = 38.83
価せよ．
1
面積:( x + y ) h / 2 = 38.83 × 87.63 × = 1701.33645
2
4桁×4桁だから
0.05 + 0.05 0.05
+
= 0.003154
4桁に四捨五入
38.83
87.63
1701.33645 × 0.003154 = 5.35 ←面積は１の位まで有効だから、
小数点以下を切り上げ
P34～
１階の常微分方程式の初期値問題
１階の常微分方程式
dz
= f ( x, z )
dx
z ′ = f ( x, z )
初期条件（ x＝0のときz＝a）を解くには，
z ( xk +1 ) = z ( xk ) +
xk +1
∫x
k
f ( x, z )dx
近似計算を
する
k = 0,1, 2,
オイラー法
z(x)のテーラー展開は
cf．ﾃｷｽﾄP.３
z(x＋h)=z(x)＋hz'(x)＋h2z"(x)/2!＋…
であるが，右辺第3項以下を無視すると
z(x＋h)≒z(x)＋hz'(x)
題意よりz'(x)= f(x，z)だから
z(x＋h)=z(x)＋h f(x，z)
となる．
xｊ=x０＋j h=xｊ－１＋h に zj= z(xj)
（ただし，j＝0，1，…）を対応させれば
z１=z０＋h f(x０，z０)
z２=z１＋h f(x１，z１)
：
zj＋１=zj＋h f(xj，zj)
これは「微分を差分で置き換えたもの」
で，幾何学的には，「解曲線を，その接
線で置き換えたもの」である．したがっ
て，かなりの誤差が生じることになる．
例題2
初期値問題
dz
＝－xz２
dx
j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f(x,z)
，初期条件（x＝1のとき，z＝2）
を，区間1≦x≦2を10等分して，オイラー法で解け．
：
z （オイラー法）
2.00000
1.60000
1.31840
1.10982
0.94970
0.82343
0.72172
0.63838
0.56910
0.51080
0.46123
z （理論値）
2.00000
1.65289
1.38889
1.18343
1.02041
0.88889
0.78125
0.69204
0.61728
0.55402
0.50000
誤差
0.00000
0.05289
0.07049
0.07361
0.07071
0.06546
0.05953
0.05366
0.04818
0.04321
0.03877
2.5
相対誤差
0.0%
3.2%
5.1%
6.2%
6.9%
7.4%
7.6%
7.8%
7.8%
7.8%
7.8%
dz
= − xz 2だから変数分離して
dx
1
dz = − xdx　これを積分して
z2
1
2
z −2+1
= − x 2 + c1 z = 2
(∵ c = −2c1 )
2
−2 + 1
x +c
2
2
∴c = −1 = 0
x = 1のときz = 2だから2 =
1+ c
2
2
∴z = 2
x
理論解は
2
1.5
計算
ｚ
[解] h=1/10=0.1
x０＝1のとき，z０＝2 （初期条件）
x1＝1.1のとき，z１=z０＋h f(x０，z０)=2＋0.1×{－1.0×2２}＝1.6
x2＝1.2のとき，z2=z1＋h f(x1，z1)=1.6＋0.1×{－1.1×1.6２}＝1.3184
x3＝1.3のとき，z3=z2＋h f(x2，z2)
= 1.3184＋0.1×{－1.2×1.3184２}≒1.10982
x4＝1.4のとき，z4=z3＋h f(x3，z3)
= 1.10982＋0.1×{－1.3×1.10982２}≒0.94970
x
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
理論
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
ｘ
：
ルンゲ・クッタ法オイラー法の改良版
z１=z０＋hにおけるzの値z１を
z１=z０＋k
ここにk=(k１＋2k２＋2k３＋k４)/6
k１=hf(x０，z０)，
k２=hf(x０＋h/2，z０＋k１/2)，
k３=hf(x０＋h/2，z０＋k２/2)，
k４=hf(x０＋h，z０＋k３)
この方法は，解曲線を(x０，z０)のまわりでhに関
して展開したとき，hの4次の項まで，真値と一
致するように公式をきめたことにあたる．
•
•
•
問
p.35
初期値問題
＝zx２，初期条件（x＝0のとき，z＝1）
を，区間0≦x≦1を10等分して，オイラー法で解け
（有効数字5桁）．
• また，解曲線のグラフを描け（理論解と比較）．
dz
dx
j
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
1.00000
1.10000
1.20000
1.30000
1.40000
1.50000
1.60000
1.70000
1.80000
1.90000
2.00000
z (オイラー法)
2.00000
1.60000
1.31840
1.10982
0.94970
0.82343
0.72172
0.63838
0.56910
0.51080
0.46123
z理論値
2.00000
1.65289
1.38889
1.18343
1.02041
0.88889
0.78125
0.69204
0.61728
0.55402
0.50000
誤差
0.00000
0.05289
0.07049
0.07361
0.07071
0.06546
0.05953
0.05366
0.04818
0.04321
0.03877
相対誤差ルンゲクッタ法
誤差
0.0%
2.00000
0.00000
3.2%
1.65292
0.00003
5.1%
1.38892
0.00003
6.2%
1.18346
0.00003
6.9%
1.02044
0.00003
7.4%
0.88891
0.00002
7.6%
0.78127
0.00002
7.8%
0.69206
0.00002
7.8%
0.61730
0.00002
7.8%
0.55403
0.00001
7.8%
0.50001
0.00001
相対誤差
0.000%
0.002%
0.002%
0.003%
0.003%
0.003%
0.003%
0.003%
0.003%
0.002%
0.002%
７．８％
0.002％
次回は「フーリエ級数」です。予習しておいて下さい（Ｐ．４３～
関数 f(t) が，区間[－π，π]で積分可能であるとき
a0
+a1cos t +b1sin t +a2cos 2t +b2sin 2t +
2
+ an cos nt +bnsin nt +
と展開することができる．ただし，
∫ f (t ) cos ntdt
1
=
f (t )sin ntdt
π∫
an =
bn
1
π
( n = 0,1, 2, )
( n = 1, 2, )
である．これをf(t)のフーリエ係数という．展開された式を
f(t) のフーリエ級数といい、以下のように表す．
f (t ) ~
a0
+
2
∞
∑ (a
n =1
n cos nt
+ bn sin nt )
( n = 1, 2, )

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