３．数値計算 有効数字と誤差の波及 テキストP32～ 数量の表現と誤差 ａ．誤差と近似値 π 3.14159… → 3.14 √3 1.732 05… → 1.732 近似値 1/3 0.333333 … → 0.333 Xを真の値， x を近似値とすれば イプシロン 誤差 ε＝ X－x ε／xを相対誤差,|ε|を絶対誤差とよぶ． また，｜X－x｜≦ α となるような α の値を 誤差の限界という． • 近似値として意味のある数を有効数字といい， その桁数を有効桁数という． • たとえば， ・ ・・・・ 位取り の0は含 まない 1.4142 ・・・ 0.0123 0.0120 ・・ 0.012 は有効数字5桁 は有効数字3桁 も 有効数字3桁 は有効数字2桁 である． アルファ 12.3 12.3? 4.56 + 7.89 4.5? × ??? 5+? 24.75 615 492 .35+??? 55.35 有効数字のまとめ • ① 加法，減法のときは，その中で一番小数点 以下の桁数の少ないものにそろえなくてはな らない．例3の場合，24.75→24.8 • ②乗法，除法のときは，その中で一番有効数 字の桁数の少ないものにそろえなくてはなら ない．例4の場合，55.35→55 • ただし，このことは最終的な答えを出すとき のことであって，途中の計算では、原則として 四捨五入しない． 例題1 2辺の長さx,yがそれぞれ23.45－0.05(m)≦x＜ 23.45＋0.05(m)，87.63－0.05(m)≦y＜87.63＋0.05(m）の 長方形の土地がある．周囲の長さおよび面積を求め，誤 差を評価せよ． (1)周囲の長さ：（23.45＋87.63）×2＝222.16 (m)， 誤差の限界：（0.05＋0.05）×2＝0.20(m) ∴ 周囲の長さは222.16 (m)で，誤差は±0.20(m)以内で ある． ↑意味のある0 (2)面積：23.45×87.63＝2054.9235(㎡)， 相対誤差の限界：0.05/23.45+0.05/87.63 ≦0.002132…+0.0005705…＝0.002702… 誤差：2054.9235×0.002702…＝5.55… ∴ 面積は有効数字4桁で2.055×103(㎡)，誤差は1 の位で 切り上げて±6(㎡)以内である． 有効桁数を明示するために，○×10△の表記にする 誤差の限界 問1 2辺の長さx,yがそれぞれ58.263－0.005(m)≦x＜ 58.263＋0.005(m)，87.346－0.005(m)≦y＜87.346＋ 0.005(m)の長方形の土地がある．周囲の長さおよび面 積を求め，誤差を評価せよ． ｜X－x｜≦αとなるようなαの値 周囲の長さ:小数点以下３桁 αを丸めるときは切り上げしないと上 式が成立しない（四捨五入して切り捨 てると成立しなくなる） 2055≦ 5.55 … 切り上げ 2055≦ 6 → ±6 問3 下底x, 上底yおよび高さhがそれぞれ23.45－0.05(m)≦x＜23.45＋ 0.05(m)，15.38－0.05(m)≦y＜15.38＋0.05(m)， 87.63－0.05(m)≦h＜87.63＋ 0.05(m) の台形の土地がある．面積(x+y)h/2を求め，誤差を評価せよ． [ヒント：まず足し算の部分(x+y)を評価して、 それとhのかけ算の部分を評価する] 誤差の限界:小数点以下３桁 面積:５桁 ×５桁だから答えも５桁 （６桁目を四捨五入） 誤差の限界:面積の最小桁にあわせて切り上げ P34～ １階の常微分方程式の初期値問題 １階の常微分方程式 dz = f ( x, z ) dx z ′ = f ( x, z ) 初期条件（ x＝0のときz＝a）を解くには， 次週は、「常微分方程式の数値計算」予習してお いてください （Ｐ．34～） z ( xk +1 ) = z ( xk ) + xk +1 ∫x k f ( x, z )dx 近似計算を する k = 0,1, 2," オイラー法 z(x)のテーラー展開は cf．ﾃｷｽﾄP.３ z(x＋h)=z(x)＋hz'(x)＋h2z"(x)/2!＋… であるが，右辺第3項以下を無視すると z(x＋h)≒z(x)＋hz'(x) 題意よりz'(x)= f(x，z)だから z(x＋h)=z(x)＋h f(x，z) となる． xｊ=x０＋j h=xｊ－１＋h に zj= z(xj) （ただし，j＝0，1，…）を対応させれば z１=z０＋h f(x０，z０) z２=z１＋h f(x１，z１) ： zj＋１=zj＋h f(xj，zj) これは「微分を差分で置き換えたもの」 で，幾何学的には，「解曲線を，その接 線で置き換えたもの」である．したがっ て，かなりの誤差が生じることになる．
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