複素解析 I 演習 (第 5 回) 略解 5-1 (1) 3i は円 |z| ≦ 2 の外にあるので

複素解析 I 演習
5-1 (1) 3i は円 |z| 5 2 の外にあるので，関数
1
z−3i
(第 5 回) 略解
は z = 3i を含まない円の近傍で正則である．したがって，(a) より 0．
(2) z = i は円の内部にあるので，コーシーの積分公式を定数関数に適用すれば，つまり (b) より，2πi．
(3) z = 2eθi として (c) を実行すると 0．
1
1
1
(4)
= −
であり，z = 0, z = −1 はともに円の内部にあるので，(b) よりそれぞれの積分は 2πi．した
z(z + 1)
z
z+1
がって，0．
∫
1
z+3
1
1 dz と書くと，関数 z+3
は円の z = −3 を含まない近傍で正則である．よって，(b) より 2πi · z+3
= 2πi
(5)
3 ．
z=0
|z|=2 z
2z
e
(6) 関数 z−3i
は z = 3i を含まないような円の近傍で正則だから (a) より 0．
(7) z = i は円の内部の点なので，正則関数 eπz に (b) を適用して，2πieπz |z=i = −2πi．
(8) (7) と同様 (b) より，2πi sin(πz)|z=i = −π(eπ − e−π )．
d
5-2 (1) コーシーの積分定理の両辺の微分を考えると， dz
(w − z)−n = n(w − z)−(n+1) (n = 1, 2, ..., ) より，
f ′ (z) =
1
2πi
∫
C
f (w)
dw,
(w − z)2
f ′′ (z) =
したがって，
∫
f (w)
dw = 2πif ′ (z),
2
C (w − z)
∫
C
∫
2
2πi
C
f (w)
dw,
(w − z)3
f (w)
dw = πif ′′ (z),
(w − z)3
f ′′′ (z) =
∫
3·2
2πi
∫
C
f (w)
dw.
(w − z)4
2πi ′′′
f (w)
dw =
f (z).
4
(w − z)
3
C
∫
∫
1
( 1 ) π
1
w+2i
(2) (i)
dw
=
dw
=
2πi
= .
2
w + 2i w=2i
2
C w +4
C w − 2i
∫
1
((
)′ )
(
)
2
1
π
(w+2i)
−3
dw
=
2πi
.
(ii)
=
2πi
−2(w
+
2i)
|
w=2i =
2
2
(w − 2i)
(w + 2i)
16
w=2i
∫C e−w sin w
(iii) C
dw = 2πi(e−w sin w|w=0 ) = 0.
∫ −ww
(
)
e sin w
−w
′
(iv)
dw
=
2πi
(e
sin
w)
|
= 2πi.
w=0
w2
C
5-3 コーシーの積分定理により，複素積分の値は積分路に依らないので，好きな曲線を選んで (または一般の曲線で) 計
9 + 6i 1
,
(1 − e3π )
算すれば良い．
2
2π
5-4 (1) コーシーの積分公式より，2πieaz |z=0 = 2πi.
(2) z = eθi (0 5 θ 5 2π) と媒介変数表示して複素積分を実行すると，
∫
|z|=1
eaz
dz = i
z
∫
∫
2π
2π
ea(cos θ+i sin θ) dθ = i
0
(
)
ea cos θ cos(a sin θ) + i sin(a sin θ) dθ
0
となる．これが 2πi に等しいので，実部と虚部を比べて，
∫
∫
2π
e
a cos θ
2π
ea cos θ sin(a sin θ)dθ = 0
cos(a sin θ)dθ = 2π,
0
0
となる．ここで，
∫
∫
2π
e
a cos θ
cos(a sin θ)dθ =
π
e
となる．
e
a cos(2π−φ)
cos(a sin(2π − φ))dφ =
0
だから，
∫ π
0
∫
π
a cos θ
1
cos(a sin θ)dθ =
2
ea cos φ cos(a sin φ)dφ
0
∫
2π
ea cos θ cos(a sin θ)dθ = π
0
π

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