butsuri2_05

物理学２
第５回資料（平成２６年度後期）
名城大学
教員：山﨑耕造
キーワード（5.5）
角運動量，力のモーメント，回転の運動方程式，角運動量保存則，
L = r ×p，
５．５
N = r × F，
dL / dt = 0
dL / dt = N，
角運動量保存則
dp /dt = F
r × dp /dt = d(r ×p )/dt = r × F
（dr/dt × p = 0 を用いた）
L = r ×p
角運動量
力のモーメント
N=r×F
dL / dt = N 回転運動方程式（dp /dt = F 並進運動方程式）
N = 0 の時，角運動量保存則 (dL/dt = 0) が成り立つ．
外力 F が０でなくても力のモーメント N が０であれば，角運動量保存則が成り立つ．
おまけの話
例えば，「中心力」と呼ばれる万有引力の場合には， F とｒは平行なので N = 0 である．
地球の角運動量は一定である．
角運動量とは
剛体の回転の速さは角速度ベクトル ω で表わされる．中心からの距離 r での速度は v=rω なので，
場所によって速さは異なるが，角速度は一定である．
r，v は xy 平面，ω はｚ軸方向と定義する
v =ω×r
（p.21 参照）
L = mr ×v = mr×(ω×r)= m(r･r) ω - m (r･ω)r= mr2 ω=(0,0, mr2ω)
慣性モーメント I= mr2
L= Iω
（類似 p=mv
角運動量＝慣性モーメント×角速度
運動量＝慣性質量×速度）
力のモーメントとは
N = r × F = (0,0,Fa) 2 個の場合
演習問題
pとF ⇔
Nz=2Fa
LとN
ヒント
１３．円運動の角運動量：
r=(0,y,z)=(0,acosθ,asinθ)
v=(0,vy,vz)=(0,-asinθ(dθ/dt), acosθ(dθ/dt))
dθ/dt = - ω（時計回り）として L = mr ×v = ( m(yvz-zvy), 0, 0) を計算する．
１４．円運動の角運動量： L=Σ2πmr2f,
(1) m1=1kg×2 (2 本の手)，r1=0.5m => 0.1m
f0=1[1/s]
2
(2) m2=50kg，r2=0.05m を加えて f=f0(2×0.5 +50×0.052)/(2×0.12+50×0.052)＝0.625/0.145 ~ 4.2[1/s]．
１５．直線運動での角運動量：
v=(0,v0,0),
r=(a,v0t,0) の場合，L = mr ×v =(0,0, mav0) は時間によらず一定．
１６．直線運動での角運動量：
直線の傾きは-1，y 切片は 21/2a，r=(x0,- x0+21/2a,0), v=(-v0/21/2, v0/21/2, 0) から L = mr ×v =(0,0, mav0)．
１７．角運動量の計算：
r=(x,y),
問題では
v=(vx,vy)=(dx/dt,dy/dt) より
L = mr ×v = ( m(yvz-zvy), m(zvx-xvz), m(xvy-yvx) ) の計算をする．
z=vz=0 なので，L = (0,0,Lz)．(3) sinωt=2sinωt cosωt, cos2ωt=2cos2ωt-1 を用いる．

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