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工業力学補足スライド
Industrial Mechanics
第6回：慣性モーメント
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宿題を提出してください
わからないことを質問してください
以前のノートがない人はとりにきて下さい
配布物：解答用紙 1枚
知能システム工学科井上康介
日立キャンパス E2棟801号室
回転体と重心 (パップス・ギュルダンの定理)
 長さ L の曲線 AB を x 軸の
まわりに一回転させてできる
回転体の表面積を求めたい．
 図の通り，長さ dL の微小
部位をとり，一回転させる
と，幅 dL，長さ 2py の
輪っか状テープとなる．
 dA = 2py・dL
 よって全体の表面積は
S =
ò dA = ò 2py dL = 2p ò y dL = 2p y
G
L = 2pyG ×L
 (重心の周回軌道長)・(曲線の全長)
2
回転体と重心 (パップス・ギュルダンの定理)
 面積 A の平面図形を x 軸の
まわりに一回転させてできる
回転体の体積を求めたい．
 図の通り，面積 dA の微小
部位をとり，一回転させる
と，断面積 dA，長さ 2py の
リングとなる．
 dV = 2py・dA
 よって全体の体積は
V =
ò dV
=
ò 2py dA = 2p ò y dA = 2p y
G
A = 2pyG ×A
 (重心の周回軌道長)・(全面積)
3
パップス・ギュルダンの定理のまとめ
 曲線を特定の軸周りに回転させてできる回転体の表面積
は，曲線全体の長さを L，曲線の重心と軸との距離を d と
すると，S = 2pdL である．これは，重心が軸の周りを1周
する軌道の長さと曲線長の積である．
 平面上の領域を特定の軸周りに回転させてできる回転体の
体積は，領域全体の面積を S，領域の重心と軸との距離を
d とすると，V = 2pdS である．これは，重心が軸の周りを
1周する軌道の長さと面積の積である．
S G
L
d
G
d
2pd
2pd
4
物体のすわり
 物体のすわりがよいとか悪いとかいうとき，これは物体の
安定性を言っている．
 ある状態に置かれた物体が安定であるか否かは，物体に微
小な傾きを与えた時，物体がそのまま倒れるか，元の状態
に戻ろうとするかによって，まずは判定できる．
 微小に傾いたときに，物体が「戻ろうとする」か「もっと
倒れようとする」かは，その時発生しているモーメントが
復元モーメントか転倒モーメントかによって決まる．
 そしてそのいずれが生じるかの条件は…
重心がもとの位置より上がる  復元モーメント (安定)
重心がもとの位置より下がる  転倒モーメント (不安定)
重心高さが不変  モーメントは発生しない (中立)
安定なすわり (stable)
物体を少し傾けると重心が上がる場合
 重心にかかる重力 W と地面からの反力 R がつくる力の
モーメントは，傾きを回復する方向の復元モーメント
 戻ろうとする (安定)
不安定なすわり (unstable)
物体を少し傾けると重心が下る場合
 重心にかかる重力 W と地面からの反力 R がつくる力の
モーメントは，より傾ける方向の転倒モーメント
 もっと倒れようとする (不安定)
中立なすわり (neutral)
物体を少し傾けても重心高さが変わらない場合
 重心にかかる重力 W と地面からの反力 R の作用線が一致
し，モーメントが生じない
 倒れようとも戻ろうともしない (中立)
慣性モーメント
剛体の運動を解析するには
 これまで扱ってきた質点の力学では, 質点の並進運動だけ
を考えれば良かった．
 剛体の力学では, 物体が大きさを持つので並進運動だけで
なく回転運動も含めて考慮する必要がある．
並進運動 (translation)
回転運動 (rotation)
 一般には，剛体は並進しつつ回転する．
 並進運動の式と回転運動の式を併用して解析する．
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回転運動の法則性：角運動方程式
 並進運動を数理的に解析する上での基本式：Newtonの運
動方程式
f = ma
 これにより「物体に作用する力 f 」と「物体の加速度 a 」
との関係が分かるので，物体が受けている力が分かれば運
動が予測できる．
 回転運動に対して同様の法則性を記述するとすればどうな
るか？  角運動方程式 (Eulerの運動方程式)
N = I w&
 このように,「物体が受けているトルク N」と「物体の角
加速度 w&」との関係が回転運動の法則性．
11
慣性モーメント
 Newtonの運動方程式をよく見れば，以下のことが言え
る．
f = ma
 力に比例して加速度は大きくなる．
 質量に反比例して加速度は小さくなる.
 質量とは「物体の動きにくさ (慣性)」を意味している．
 では，回転の運動方程式 (角運動方程式) ではどうか？
N = I w&
 質量に対応しているのは I であり，角加速度 (回転の加速
度) は，I に反比例している．つまり，I は「物体の回り
にくさ (回転に関する慣性)」であり，これを慣性モーメ
ント (moment of inertia) と呼ぶ．
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慣性モーメントに関する定性的考察
 慣性モーメント I とは，回転に関する慣性 (回りにくさ)
であった．
 では，どういうとき物体は回りにくいか？
 まず，形状が同じとすれば質量が大きいとき回りにくい
であろうことは直感的に分かる．
 また，以下の2つの物体が同じ質量だとしたとき…
回転軸近傍に質量が集まっている方が回しやすいっぽい
 回転軸と質量との距離が大きいと回しにくい
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慣性モーメントを定量的に求める 1
 再び角運動方程式を見ると…
「物体全体の回転を角加速度で加速させるのに必要な
トルクは
である」と解釈できる．
 物体を，微小部分 i (質量 mi，回転軸からの距離 ri) の集合
体と考えると，全体の回転をで加速させるトルクは，
各部分の回転をで加速させるトルクの合計である．
w&
mi
 部分 i の軸まわりの回転をで加
速させるのに必要なトルク Ni を
求めて，これを合算した全体の
必要トルク N をで割った値が
慣性モーメント I である！
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慣性モーメントを定量的に求める 2
 部分 i の軸周りの回転を w&で加速するのに必要なトルク Ni
を求める．
 角加速度が w&であることから，部分 i の加速度は ri w&であ
る．部分 i にこの加速度を与えるのに必要な力の大きさ fi
は，m i ri w&である．
 fi は回転軸から部分 i までのベクトルに直交しているの
で，部分 i にこの力を与えるのに必要なトルクは
N i = fi ri = m i ri2 w&である．
fi
 よって，物体全体の回転をw&で
w&
加速させるのに必要なトルク N
mi
はその総和であり，
N = å N i = å m i ri2 w&= I w&
である．
慣性モーメント
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慣性モーメントを定量的に求める 3
 N =
å
Ni =
å
m i ri2 w&= I w& より，I =
å
m i ri2 ．
慣性モーメント (物体の回りにくさ＝回転の慣性) とは，
(部分の質量)・(部分と軸との距離)2
を物体全体にわたって合算した値である
 微小部分のサイズ (質量) をゼロに持って行く極限を取る
と，連続体に対する慣性モーメントの式が求められる．
I =
ò
物体全体
2
r dm
 連続体の慣性モーメントは，物体の微小部分を考え，その
微小質量 dm と軸からの距離 r を求めて積分して求める．
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慣性モーメントを定量的に求める 4
例) 下記の細い (太さの無視できる) 長さ l，質量 m の棒を軸 L
まわりで回転させるときの慣性モーメントを求める．ただ
し，線密度 (長さあたりの質量) を r とする (m = rl )．
l
L
dx
x
 軸 L から距離 x の位置に微小部分 (長さ dx ) をとると，そ
の質量は dm = r dx である．先ほどの式に代入すれば，
l
3
2
é
1
ù
r
l
ml
I = ò
r 2 dm = ò x 2 ×r dx = r ê x 3 ú =
=
物体全体
0
êë3 ú
3
3
û0
l
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慣性モーメントを定量的に求める 5
 結合体の慣性モーメントはどうなるだろうか？
 結合体の全体を w&で回すのに必要な
トルクを N とする ( N = I w&)．
 右図のように，それぞれの部分を回す
のに必要なトルクは以下の通りとする．
N 1 = I 1w&, N 2 = I 2 w&
 全体を回すトルクはそれらの和である．
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慣性モーメントを定量的に求める 6
 N = N1+N2 より，I = I1+I2．
 すなわち，
部分 i の慣性モーメントが Ii である結合体の全体の慣性
モーメントは，部分ごとの慣性モーメントの総和である．
I =
å
Ii
 同様の議論から，慣性モーメント IB の物体から慣性モー
メント IP の部分を抜いた後の慣性モーメントは，抜く前
の慣性モーメントから抜いた部分の慣性モーメントを引い
た値となる．
I = IB - IP
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有用な定理 1：平行軸の定理
 下図の物体 (質量 m) を重心 G を通る軸周りで回す時の慣
性モーメントを IG とするとき，G から距離 d だけ離れた点
O を通る平行な軸周りで回す慣性モーメントはどうなる
か．
y
x
d
O
G
20
有用な定理 1：平行軸の定理
 回転軸が z 軸方向となるように以下のように G を原点とし
て座標軸をとり，物体上の微小部分 (質量 dm) を考える．
微小部分の座標を (x, y)T とする．微小部分と G との距離を
r，O との距離を r’ とする．
y
dm
r
y
r’
x
d
O
G
x
21
有用な定理 1：平行軸の定理
 点 O 周りの慣性モーメントは以下の通りとなる．
I =
2
¢
r
ò dm =
2
2
(
x
+
d
)
+
y
{
}dm
ò
I =
2
2
2
x
+
y
dm
+
d
(
)
ò
ò dm + 2d ò x dm
y
r2
dm
r
y
r’
x
d
O
G
x
22
有用な定理 1：平行軸の定理
2
=
I
+
d
m
I = ò r dm + d ò dm + 2d ò x dm
G
2
物体の全質量
=m
重心の x 座標と
全質量の積 = 0
ここが差分！
y
dm
xG =
y
r’
r
G 周りの慣性
モーメント IG
2
x
d
O
G
=0
ò x dm
ò dm
x
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有用な定理 1：平行軸の定理
平行軸の定理 (parallel axis theorem)
2
I = IG + d m
質量 m の物体の重心 G を通る軸周りの物体の慣性モー
メントを IG とするとき，その軸から距離 d だけ離れた
平行軸周りの慣性モーメントは，IG に d 2m を足した量
となる．
 物体の慣性モーメントは重心を通る軸周りが一番小さく，
そこから離れるにしたがって d 2m だけ増加する．
 重心を通るある軸周りの慣性モーメントが分かっていれ
ば，この定理を使って，その軸に平行な任意の軸周りの慣
性モーメントを簡単に求められる．
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有用な定理 2：直交軸の定理
 厚みの無視できる平面板に下図のように座標軸を取り，こ
の板を x 軸，y 軸，z 軸周りで回すときの慣性モーメントを
それぞれ，Ix，Iy，Iz とする．
z
O
y
r
x
y
dm
x
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有用な定理 2：直交軸の定理
 微小質量 dm を座標 (x, y, 0)T に取るとき，z 軸周りの慣性
モーメントは
Iz =
2
r
ò dm =
2
2
x
+
y
dm =
ò
2
x
ò dm +
2
y
ò dm
= Iy
となる．
= Ix
z
O
y
r
x
y
dm
x
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有用な定理 2：直交軸の定理
直交軸の定理 (perpendicular axis theorem)
Iz = Ix + Iy
平面板上の任意の点 O を通り，板に垂直な軸周りの慣
性モーメントは，平面内の O を通り直交する2軸周り
z
の慣性モーメントの和に等しい．
O
y
r
x
y
dm
x
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特定物体の慣性モーメントを求める
 以上の考え方を使って特定物体の慣性
モーメントを求められる．
例) 右図の物体の軸 L 周りの慣性モーメ
ントを求める．
 円柱や直方体の重心周りの慣性モー
メントは，積分の計算により求まる．
この計算の中で直交軸の定理を活用．
L
( 結果が教科書の表 6・1 に出ている)
 平行軸の定理を使えば，右図の軸 L 周り
の部分ごとの慣性モーメントが分かる．
 さらに，「全体の慣性モーメント＝部分の慣性モーメント
の和」であるから，求まった部分ごとの慣性モーメントの
合算により全体の慣性モーメントが求まる．
28

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