(1) A - TwitDoc.com

1. (1) A · B = 2a − 6a + 4 = 0 より、a = 1
(2) X = xi + yj + zk とおいて、−2z − y = 1, x − 2z = 3, 2y + 2x = 4, 3x − 2y + 4z = −3
より、(x, y, z) = (1, 1 − 1)
(3) 2 sin α cos α = 2 ·
e2α − e−2α
eα − e−α eα + e−α
·
=
= sin 2α
2i
2
2i
dv1
dv2
2. (1) Fij を物体 i が物体 j に及ぼす力として、運動方程式 m1
= F21 , m2
= F12
dt
dt
dv1
dv2
m1
+ m2
= F21 + F12
dt
dt
d
作用反作用の法則より F12 = −F21 なので、 (m1 v1 + m2 v2 ) = 0
dt
両辺を積分して、m1 v1 + m2 v2 = Const(一定)
m2
(2) (1) で示した運動量保存則より、v1 = − v2 なので、
m1
m2
v1 と v2 は逆向きで、v1 の大きさは v2 の大きさの
倍
m1
(3) 運動量保存則より、m1 v(1 + m2 v2 = (m1 + )m2 )v
m2
(v1 − v2 )2 ≤ 0
∆K = 12 (m1 + m2 )v 2 − 12 m1 v1 2 + 12 m2 v2 2 = − 12 (mm11+m
2)
m1 m2
(= µ とおく) は相対運動における換算質量、(v1 − v2 )2 は相対速度の二乗で
(m1 +m2 )
あるから、 12 µ(v1 − v2 )2 は相対運動の運動エネルギーである。
∆K = − 12 µ(v1 − v2 )2 ≤ 0 は合体で失われた運動エネルギーであるが、このとき失わ
れた運動エネルギーは相対運動のもので、合体で相対運動がなくなることを示して
いる。
dv
= mg − bv を v についての微分方程式と見たときの一般解は v =
{
( dt )
(
)}
mg
b
mg
b
− A exp − t で、初速 0 なので、求める特解は v =
1 − exp − t
b
m
b
m
mg
(2) グラフは図 1 のようになる。十分時間がたったとき (t → ∞)、v =
b
(3) 最初雨滴の速度は小さいため抵抗力は小さいので、重力によって加速されるが、速
度が大きくなって重力とつりあうと、等速度運動をするため。(この抵抗力は空気抵
抗のモデルで実際は v 2 に比例)
3. (1) 運動方程式 m
GM m
r
r3
(
)
dv
GM m
dr
(2) 運動方程式 m
= − 3 r の両辺に v =
との内積をとって整理すると、
dt
r
dt
1
GM m
dv GM m dr
2
+
r
·
=
0.
積分して、
m|v|
+
=0
mv ·
dt
r3
dt
2
r
1
すなわち、 m|v|2 + U (r) = Const となり、力学的エネルギーは保存する。
2
dU
∂U dr
dr
(積分では、
=
·
= gradU ·
を用いると簡単)
dt
∂r dt
dt
(3) 簡単のために二次元で考える。円軌道では、r = a(定数) として、r = a(cos ωt, sin ωt)
= −aω 2 (cos ωt, sin ωt)
になるので、v = aω(− sin ωt, cos ωt)、 dv
dt
GM m
運動方程式に代入して、−maω 2 (cos ωt, sin ωt) = −
(cos ωt, sin ωt)
a2
4. (1) F = −gradU = −
1
v
t
図 1: 3.(2) のグラフの概形
√
√
GM
GM
よって、ω =
となる。r · v = 0、|v| = aω =
より、半径 a の円の接線
3
a
√ a
GM
方向に大きさ
の速度を与えればよい。
a
(4) 重力は天体中心に向かう方向の速度成分にしか影響を与えないので、天体中心に
向かう方向の速度成分が 0 になるとき速度はある円軌道方向になるから、このと
√
き、(3) より、円軌道方向の速度成分について v sin θ = GM
を満たせばよいから、
a
√
GM
1
v=
sin θ
a
(5) 物体は円運動を行い、円運動している間は速度が変わらないため、力学的エネルギー
保存より、ポテンシャルは変わらない。すなわち、天体中心と物体の距離は変わら
ないから物体は天体表面には戻ってこない。
2

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