第９回 §質点系の力学質点の力学では，一つの質点と，それに力を及ぼす外界とを考え，質点が外界に与える影響は無視してきた。たとえば，テニスボールが地球上で運動する場合には，ボールが地球の運動に与える影響は非常に小さいためふつうは無視できる。しかし，月が地球から力をうけながら運動するような場合には，月が地球の運動に与える影響は無視できないから，月と地球を一緒にした質点の集まり（質点系）として取り扱わねばならない。さらに，月や地球それ自身にも形や大きさがあり，これらの回転や変形を考える場合には，月や地球自身も質点系として取り扱う必要がある。２つの質点からなる質点系（２質点系） f21 m2 F2 f12 m1 F1 外力： F1 ， F2 r2 r1 O 内力： f12 ， f21 慣性系の原点 m2 f21 ・（ニュートンの）運動の第３法則（作用反作用の法則） m1 ２質点の間の相互作用は，それらを結ぶ直線上に働き， f12 r2 大きさは等しく向きは反対である。数式で表現すると， f12 = − f21 ，かつ (r2 − r1 ) × f12 = 0 r1 r2 - r1 O N 個の質点からなる一般の質点系（ N 質点系）において，質点 i （ i 番目の質点）に対して別の質点 j から働く内力を fi j で表せば， fi j = − f j i ，かつ (rj − ri ) × fi j = 0 (i, j = 1, 2, ! , N; i ≠ j) ○ 質点系の運動量定義： P ≡ N N N i=1 i=1 i=1 ∑ p i = ∑ miv i = ∑ mi r!i 一番簡単な２質点系（ N = 2 ）の場合，それぞれの質点の運動方程式は以下のように表される。 r1 = F1 + f12 p! 1 = m1!! (1) r2 = F2 + f21 p! 2 = m2 !! (2) (1) 式と(2)式を辺々たし合わせ，第３法則を利用すると次の関係式が得られる。 P! = p! 1 + p! 2 = F1 + F2 + f12 + f21 = F1 + F2 (3) 一般の N 質点系では，(3)式に対応して次式が成り立つ。 N N N N N N N N N 1 P! = ∑ p! i = ∑ mi !! ri = ∑ Fi + ∑ ∑ fi j = ∑ Fi + ∑ ∑ ( fi j + f j i ) = ∑ Fi 2 i=1 j≠i i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 j≠i すなわち「質点系の運動量が時間変化する割合は，質点系に働く外力の総和に等しい」 (4) 外力の総和を F = N ∑ F とおけば，(4)式は i i=1 dP = F と表せる。 dt ○質点系の運動量保存則とくに， Fi = 0 (i = 1, 2, ! , N ) ならば， dP = 0 すなわち P は一定 dt 「外力の作用しない質点系では，運動量が時間変化しない（保存される）」例）球の衝突，ロケットの運動 ○ 球の衝突衝突前後の質点系の運動量変化は ΔP = (dP dt)Δt = F Δt のように外力の力積で表せるが，衝突は極めて短い時間間隔 Δt の間におきるから，外力の力積はゼロとみなせる。したがって衝突の前後で２球の運動量の和が保存される。 ○ロケットの運動他の物体から十分離れた宇宙空間では外力の影響が無視できるから，ロケット本体と噴出したガスの運動量の総和が一定に保たれる。 t +Δt 秒後 t 秒後【演習】ロケット本体に対して一定の速さ u （ u > 0 ）でガスを後ろに噴射しながら，ロケットが宇宙空間を進行している。最初静止していたときのロケットの質量を M とする。ガスを噴射し続けてロケットの質量が質量： µ (t) m にまで減少したときのロケットの速度 v を，速度： v(t) M ， m ， u を用いて表しなさい M −m u という解答は正しくないことに注意）。（ v= M − Δµ µ (t + Δt) = µ (t) + Δ µ v(t) +eΔv − u v(t + Δt) =v(t) +Δv 0 < e<1 ○質量中心（重心）の運動次の位置ベクトルで与えられる点を質点系の質量中心と定義する： N r= ∑m r i i i=1 M N (5) ただし， M = ∑ mi (6) i=1 (5)式の定義式の両辺を時間について２回微分し， (4) 式の結果を一緒に考慮すると次式が得られる。， M !! r =F ただし， F は質点系に働く外力の総和（合力）： F = (7) N ∑ F である。 i i=1 (7) 式から分かるように「質量中心は，そこに全質量が集中したと考えた仮想的な質点として運動する」例）ボールの軌跡･･･質量中心の軌道質量中心（重心）の位置ベクトルを(5)式のように定義する理由は，後で剛体の運動を学習すると，より一層明確になる