微分方程式第 2 回演習第 2 回演習問題

微分方程式第 2 回演習
第 2 回演習問題：次の追加問題 1,2 とテキスト p.33 演習 3.1(2) です．
追加問題 1. 関数 y = y(x) に関する次の単純微分形の微分方程式を解け (一般解を求めよ)．
y 0 = e2x + sin x
(ヒント) 下の例題 1 を参考にしてみよ．
追加問題 2. 関数 y = y(x) に関する次の変数分離形の微分方程式を解け (一般解を求めよ)．
y0 = −
y−1
x2
1
(ヒント) 下の例題 2 を参考にしてみよ．(答え) y = 1 + Ce x
(C ：任意定数)
例題 1. 関数 y = y(x) に関する次の単純微分形の微分方程式を解け (一般解を求めよ)．
y 0 = x2 +
1
x
(解答例)
∫
y=
∫
0
y dx + C =
1
x3
(x2 + )dx + C =
+ log |x| + C
x
3
(C ：任意定数)
例題 2. 関数 y = y(x) に関する次の変数分離形の微分方程式を解け (一般解を求めよ)．
y 0 = (2x + 1)(y − 2)
(解答例) y 0 =
dy
dx
と表すと与えられた微分方程式は
1 dy
= 2x + 1.
y − 2 dx
両辺 x で (不定) 積分すると
∫
∫
1 dy
dx = (2x+1) dx,
y − 2 dx
∫
1
dy =
y−2
∫
(2x+1) dx,
∴ log |y−2| = x2 +x+C
これより
|y − 2| = ex
2 +x+C
定数 ±eC を改めて C とおけば y = 2 + Cex
∴ y − 2 = ±eC ex
2 +x
2 +x
(C:任意定数).

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