(1) y

微分方程式第 9 回演習
第 9 回演習問題：次の追加問題を行え．(ヒント) 下の例題を参考にせよ．
追加問題. 次の 2 階同次線形微分方程式に y = xm または y = emx (m：定数) の形の特殊解が存在するか否
かを調べ，存在するなら特殊解を求めよ．但し，y = y(x)．
(1) y 00 −
3 0
3
y + 2y = 0
x
x
(2) y 00 + (
1 − 4x 0
4x − 2
)y + (
)y = 0
x
x
例題. 次の 2 階同次線形微分方程式に y = xm または y = emx (m：定数) の形の特殊解が存在するか否かを
調べ，存在するなら特殊解を求めよ．但し，y = y(x)．
(1) y 00 −
4 0
6
y + 2y = 0
x
x
(2) y 00 + (
1 + 2x 0
1+x
)y + (
)y = 0
x
x
(解答例) (1) y = xm (m：定数) とすると，y 0 = mxm−1 , y 00 = m(m − 1)xm−2 より
y 00 −
4 0
4
6
6
y + 2 y = m(m − 1)xm−2 − mxm−1 + 2 xm
x
x
x
x
= m(m − 1)xm−2 − 4mxm−2 + 6xm−2
= (m2 − 5m + 6)xm−2 = (m − 2)(m − 3)xm−2 · · · °
1
よって，°
1 が恒等的に 0 となるには，(m − 2)(m − 3) = 0 が必要十分である．よって，m = 2 または m = 3
とすれば，y = xm の形の特殊解は存在し，y = x2 と y = x3 は特殊解である．
次に，y = emx (m：定数) とすると，y 0 = memx , y 00 = m2 emx より
y 00 −
4 0
6
6
4
y + 2 y = m2 emx − memx + 2 emx
x
x
x
x
emx
emx
) + 6( 2 ) · · · °
= m2 emx − 4m(
2
x
x
emx
の係数が 6 であるから，°
2 が恒等的に 0 となる事はない．よって，y = emx の形の特殊解は存在し
x2
ない．
°
2の
(2) y = xm (m：定数) とすると，y 0 = mxm−1 , y 00 = m(m − 1)xm−2 より
y 00 + (
1 + 2x 0
1+x
1 + 2x
1+x m
)y + (
)y = m(m − 1)xm−2 + (
)mxm−1 + (
)x
x
x
x
x
= m(m − 1)xm−2 + (1 + 2x)mxm−2 + (1 + x)xm−1
= m2 xm−2 + (2m + 1)xm−1 + xm · · · °
1
°
1 の xm の係数が 1 であるから，°
1 が恒等的に 0 となる事はない．よって，y = xm の形の特殊解は存在しない．
次に，y = emx (m：定数) とすると，y 0 = memx , y 00 = m2 emx より
y 00 + (
1+x
1 + 2x
1 + x mx
1 + 2x 0
)y + (
)y = m2 emx + (
)memx + (
)e
x
x
x
x
emx
= (m2 + 2m + 1)emx + (m + 1)
x
emx
2 mx
··· °
2
= (m + 1) e + (m + 1)
x
よって，°
2 が恒等的に 0 となるには，(m + 1)2 = 0 かつ (m + 1) = 0 が必要十分である．よって，m = −1 と
すれば，y = emx の形の特殊解は存在し，y = e−x は特殊解である．

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