3 2 1 6 1 2 h bh bh dyyh h b dyyh h by dA ydA y = = ∫ - ∫

暮らしの力学 KK16
重心（１）重心の理論
教科書 p.41～p.44 参照
重心や図心を求めるには教科書(3.4)、(3.6)式のような積分を実行しなくてはならない。そ
の例として、図 16-1 に示された三角形の図心の座標を求めてみよう。これは２次元問題と
考えることができるから、求めるべき座標は x, y  である。２次元問題であるから、教科書
(3.6)式は、以下のように簡単になる。密度が一様の場合、重心と図心は一致する。
x
 xdA
A
 dA
,
y
A
 ydA
A
(16.1)
 dA
A
図 16-1 に示されているような微小面積要素 dA  xdy を考える。 x は y の関数として、
x
b
h  y  と表されるから、(16.1)式は、
h
by
h  y dy 1 bh 2 h
yA
 0h h
 6

b
1
3
 dA
bh
 h  y dy
A
2
0h
 ydA
h

(16.2)
と図心の y 座標が求まる。図心の x 座標を求めるには、同様に微小面積要素 dA  ydx を考
え、 y を x の関数で表現して(16.1)式の積分を実行すればよく、 x 
図 16-1
b
となる。
3
三角形の図心の算定
基本的な図形に対する図心（重心）は教科書表 3.1 に記されている。この表を基に複雑な
部品の重心を求める。積分で求めるのは一般的に難しい。
その例として半円の図心を求めてみる。明らかに図心はｙ軸上にあるので、 x  0 である
ことは明白である。図心の定義式は、
y
 ydA
A
 dA
A
である。図から、 dA 

x

2
R cos  ,
3
y
1 2
 
R d 。微小な三角形の図心を  x, y  とすると、それらは、
2


2
R sin 
3
これらを図心の定義式に代入すると、
図 16-2
y
 ydA
A
 dA
A



 y dA
A
 dA
A
半円の図心

1 3
R sin d
3 0

1 2
R d
2 0
ここで、

 sin d   cos 
0
KK 演習 21

0

 2,
 d  
0
2 3
R
4R
3


 0.424 R
 2 3
R
2

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