基礎編練習24 図のようなAD//BCの台形ABCDがあります。 BE：EC=1

基礎編練習24
図のようなAD//BCの台形ABCDがあります。
BE：EC=1：5 , EF：FD=3：2 のとき、△FECと台形ABCDの
面積の比はいくらですか。
ポイント9 『台形と相似』
図のようなAD//BCである台形ABCDにおいて
対角線の交点をEとします。
△ABCと△DBCは底辺と高さが共通なので
△ABC＝△DBC (※面積が等しい) となり、
△ABE＝△ABC－△EBC,
△DEC＝△DBC－△EBC であるから
△ABE＝△DEC が成り立ちます。
※簡単に導くことができますが、案外気がつきませんよね。
基礎編練習24
解き方) 相似比に着目して、△FECの面積を3Sとおくところがポイントです。
台形ABCDを△FEC＋△DFC＋△AEF＋△ABE＋△DAFに分解して、
それらの三角形をSの式で表すのですが、その際にポイント9を使います。
△ FEC ∽△ FDA であり、FE：FD = 3：2 より、 FC：FA = 3：2
ここで、線分AEを引き、 △ FECの面積を3Sとおくと
※ FE：FD = 3：2より、3Sと表すと計算が楽になります。
△ DFC =△ AEF = 2S と表される。
※ポイント9を使いました。
右図のようにFを通り、ADとBCに直交する線分HGを引き、
BE = , HG = とおくと、
1
1
1
3
3
△ ABE =
, △ FEC = × 5 ×
=
2
2
5
2
1
1
∴ △ ABE = × △ FEC = × 3S = S
3
3
1
1
※BE：EC = 1：5より、 △ ABE = × △ AEC = × △ AEF +△ FEC
5
5
1
1
= × 2S + 3S = × 5S = S　としてももちろん構いません。
5
5
2
2
4
また、 △ DAF = × △ DFC = × 2S = S
3
3
3
台形の面積をTとおくと
T =△ FEC +△ DFC +△ AEF +△ ABE +△ DAF
4
= 3S + 2S + 2S + S + S
3
28
=
S
3
28
よって △ FEC：T = 3S：
S = 9：28 ・・・（答
3
5

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