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解析学 D 自習用問題 No.2 略解
（2014.10.10 掲載）
以下で特に記載がなければ，C, C 0 は「任意定数」を表すこととします．
(1)（変数分離形）
dy
= x dx を積分して
y2
1
x2
− =
+ C 0.
y
2
∴ y=−
x2
2
（C(= 2C 0 ) は任意）.
+C
注意． y = 0 が特異解である．
dy
= sin(x + y) − sin(x − y) = 2 cos x sin y であるから，
dx
dy
= 2 cos x dx.
sin y
∫
∫
dy
∴
= 2 cos x dx.
sin y
y ∴ log tan = 2 sin x + C 0 .
2
(
)
0
∴ y = 2 arctan Ce2 sin x (C = ±eC 6= 0).
(2)（変数分離形）
注意．特異解 y = kπ (k ∈ Z) と合わせると，C は任意定数として良い．
(3)（変数分離形）
dy
= dx を積分して
2y − y 2
y 1
= x + C 0.
log 2
2 − y
y
0
= Ce2x . (C = ±e2C )
∴
2−y
2e2x
．
1 + e2x
1
2e2x
(ii) y(0) = −1 より C = − ．従って解は y = −
．
3
3 − e2x
(i) y(0) = 1 より C = 1．従って解は y =
(
)
log 3
グラフは下図のようになる．なお，解の定義域が (i) では R，(ii) では −∞,
で
2
log 3
log 3
あることに注意する．
（(ii) では，初期条件が x =
で y は発散するので，x =
2
2
を超えて右側には解は延長できない）
(i)
y
(ii)
y
2
1
O
x
O
−1
log 3
2
x
( y )2
0
(4)（同次形） y =
x
y
x
−1
と変形でき，これは同次形．u =
y
とおくと，
x
du
u2
=
.
dx
u−1
u−1
dx
∴
du =
.
u
x
∴ u − log |u| = log |x| + C.
u+x
u=
y
y
を代入して = log |y| + C ．
x
x
注意． u = 0 に相当する y = 0 が特異解である．
(5)（同次形）微分方程式は y 0 =
くと，
y
y
y
− tan と変形でき，これは同次形．u = とお
x
x
x
du
= u − tan u.
dx
dx
du
=− .
∴
tan u
x
∴ log | sin u| = − log x + C 0 .
y
C
0
∴ sin = . (C = ±eC )
x
x
u+x
√
√
2 2
．
初期条件 y(4) = π より C = 2 2．従って求める解は y = x arcsin
x
)
)
∂ (
∂ (
1 + xy 2 = 2xy,
y + x2 y = 2xy よりこの微分方程式は完
∂y
∂x
∂u
2 ∂u
2
= 1 + xy ,
= y + x y となる u を求めると
全微分形．
∂x
∂y
∫
(
)
x2 y 2
u=
1 + xy 2 dx + f (y) = x +
+ f (y).
2
y2
∂u
= x2 y + f 0 (y).
∴ f 0 (y) = y.
∴ f (y) = .
y + x2 y =
∂y
2
(6)（完全微分形）
従って一般解は x +
x2 y 2 y 2
+
= C となる．
2
2
√
注意． y = (x の関数) の形にすると y = ±
した）
C − 2x
となる．（2C を改めて C と置き直
1 + x2

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