回転体の体積と曲線の長さ
演習問題 86
難易度 ★★★
1
CHECK
2
3
CHECK
CHECK
xy 平 面 上 の 曲 線 C ： y ＝ e x ( l o g √ 3 ≦ x ≦ l o g √ 1 5 ) を 考 え る 。
ここ で ， 対 数 は 自然対数とする。
( 1 ) 曲 線 C ， x 軸 ，直線 x ＝ l o g √ 3 および直線 x ＝ l o g √ 1 5 で 囲 ま れ た 図
形 を x 軸 の ま わりに 1 回転してできる立体 の 体 積 V を 求 め よ 。
( 東京医大 )
( 2 ) 曲 線 C の 長 さ L を求めよ。
α ＝ l o g √ 3 ， β ＝ l o g √ 1 5 ， y ＝ f ( x ) ＝ e x と お く と ，( 1 ) x 軸 の ま
ヒント！
わ り の 回 転 体 の 体 積 V は ，V ＝ π
L＝
∫
α
β
∫
β
α
{ f ( x ) } 2 d x で ，( 2 ) 曲 線 C の 長 さ L は ，
√ 1 ＋ { f ´ ( x )} 2 d x で求めればいいんだね。ただし，( 2 ) の積分計算は，少し
メンドウだけれど，頑張ろう !
解答＆解説
ココがポイント
α ＝ log√3，β ＝ log√15， ま た，y ＝ f (x) ＝ ex と お く と，
x
曲線 C：y ＝ f (x) ＝ e (α ≦ x ≦β ) となる。
y
y ＝ f (x) ＝ ex
(1) 曲線 C とx 軸，および2 直線x ＝α ，x ＝β とで
囲 ま れ る 図 形 を x 軸のまわりに 1 回転してで き る
回 転 体 の 体 積 V を求めると
V＝π
＝π
∫
β
α
{ f ( x )} 2 d x ＝ π
[ 12 e
ex
2x
{
∫
β
α
]α ＝ π2 ( e β − e α )
β
2
( √3 ) 2
√
α
e ＝e
2β
2log√15
β
α
V ＝ π (e2 − e2 ) ＝ π
2
2
15
3
＝e
log( √15
α
x
β
体積 V
2
2
2log 3
log
＝e
ここで， e ＝ e
よって，
0
e 2x d x
＝e
)2
log3
＝e
＝3
log15
＝ 15
× 1 2 ＝ 6π …………( 答 )
一般に， e
(p ＞ 0)
logp
＝p
となる。
e log p ＝ x と お い て， 両 辺
の自然対数をとると
l o ge lo g P ＝ l o gx
l o gp ･ l o ge ＝ l o gx
1
∴ x ＝ p となるからね。
238
講義
∫
α
α
また，②の両辺を2 乗して，1 ＋ e ＝ t ……② ´ より
2x
2
α
β
置換積分にもち込もう
t ：√ 1 ＋ e
√1 ＋ e
2α
3
よ り ， t ：2
!
2β
15
4
講義
講義
積分法とその応用
2e 2 x d x ＝ 2 t d t d x ＝ t2x d t
e
( 1 ＋ e 2x ) ´ ( t 2) ´
2
t − 1( ② ´ より )
0
x
以上より，
∫
4
t2 d t
t −1
2
t2 − 1 ＋ 1 ＝ ＋
1
t2 − 1
＝ 1＋
＝
( t 11
1
2
−
∫ {1
4
[
L＝
2
2
＝ t＋
＋
t
1
2
−
(
−1
1
t＋ 1
＝ 1＋
)
1
( t − 1)( t ＋ 1)
) }dt
log | t 1 | ) ]
∫
2
4
√ 1 ＋ e 2x
t･
t
dt
t2 − 1
dx
1
1 − 1
2 t−1 t＋1
1 ( log t − 1 −
| |
2
＋
4
2
＝4＋
1 ( log3 − log5 ) − 2 − 1 ( log1 − log3 )
2
2
＝2＋
1 ( log3 − log5 ＋ log3 )
2
＝2＋
1 log 9 である。 …………( 答 )
2
5
微分法とその応用
……②とおくと，
x ：α β のとき， t ：2 4
L＝
4
5
6
講義
√ 1 ＋ e 2x ＝ t
ここ で ，
曲線 C の
長さ L
y ＝ f (x)
∫
ex
とな る 。
y
関数の極限
( 2 ) f ´ ( x ) ＝ ( e x ) ´ ＝ e x より，
曲線 C ：y ＝ f ( x ) (α ≦ x ≦ β ) の長さ L を求めると
β
β
L＝
√ 1 ＋ { f ´ ( x )} 2 d x ＝ √ 1 ＋ e 2x d x ……①
log3 −log5 ＋ log3
＝ log
3 × 3 ＝ log 9
5
5
239
けんすい曲線の曲線の長さ
演習問題 87
難易度 ★★★
1
CHECK
2
3
CHECK
CHECK
1 ( e x ＋ e − x)
の 0 ≦ x ≦ t の部分の長さを
2
S ( t ) と す る 。 S ( t ) を求め，極限 lt →∞
i m { t − l o g S ( t )} を 求 め よ 。( 広島大＊ )
正 の 数 t に 対 し て， 曲 線 y ＝
ヒント！
この曲線を，けんすい曲線という。y ＝ f ( x ) の形の曲線の長さ S ( t ) は，
公式： S ( t ) ＝
∫ √1
t
0
＋ { f ´ (x)}
2
dx で求めればいいんだね。
ココがポイント
解答＆解説
y ＝ f ( x ) ＝ 1 ( e x ＋ e − x ) ……① とおいて，
2
これ を x で 微 分 すると，
f ´ ( x ) ＝ 1 ( e x − 1・e − x ) ＝ 1 ( e x − e − x ) より，
2
2
2
2
1
x
( e − e − x)
1 ＋ { f ´ ( x )} ＝ 1 ＋
2
{
}
1 ( e x ＋ e − x) 2
＝
……② となる。
4
よっ て ，y ＝ f ( x ) の 0 ≦ x ≦ t の部分の長さ S ( t ) は ，
②を 用 い て ，
S(t) ＝
＝
∫ √1
t
0
＋ { f ´(x)}
2
dx ＝ 1
2
∫
t
0
−
1 [ e x − e − x] t ＝ e − e −
……………………( 答 )
0
2
2
t
(
t
よっ て ， 求 め る 極限は，
lim { t − l o g S ( t )} ＝ l i m l o g e t − l o g
t →∞
t →∞
＝ lim log
t →∞
2et
t
e − e −t
2
＝ lim log
t →∞
1 − e − 2t
＝ log 2
240
( e x ＋ e x ) dx
et − e −t
2
)
分子・分母を
e t で割った。
0
…………………………………………( 答 )
けんすい曲線
y
1 x ＋ −x
(e e )
2
y＝
曲線の
長 さ S(t)
1
t
0
x
1 ＋ { f ´(x)}
1 2x
−x
− 2x
x
＝ 1 ＋ (e − 2・e ・e ＋ e )
4
1 ＋ 2x − ＋ − 2x
＝ (4 e
2 e )
4
1 2x ＋ x − x ＋ − 2x
＝ (e
e )
2e e
4
1 x −x 2
＝ (e ＋ e ) よ り ，
4
2
t
∫ √ 1 { f ´(x)} dx
1
＝∫
√ 4 (e e ) dx
1
＝ ∫ (e e ) dx
2
S(t) ＝
0
t
x
0
t
0
＝
＝
2
＋
x
＋
＋
−x
2
−x
1 x − −x t
[e e ] 0
2
1 t − −t − ＋
(e e 1 1 )
2
講義
演習問題 88
難易度 ★★★
1
CHECK
2
CHECK
a を正 の 定 数 と す る 。次の曲線の長さ l を求めよ 。
( 小樽商科大＊ )
x ＝ a c o s 3 t ， y ＝ a si n 3 t ( 0 ≦ t ≦ 2 π )
∫
2π
0
√( ) ( )
dx
dt
2
＋
dy
dt
2
dt を使って求めよう。
ココがポイント
解答＆解説
アステ ロ イ ド 曲 線
{
x ＝ a c o s 3t
y ＝ a si n 3 t
講義
講義
アステロイド曲線
y
( 0 ≦ t ≦ 2 π ) の長さ l を求める。
dx ＝ a
2
2
・3 c o s t・( − s i n t ) ＝ − 3 a s i n t c o s t
dt
dy
2
2
＝ a・3 si n t・c o s t ＝ 3 a s i n t c o s t より，
dt
dx 2
dy 2
2 2
2
2
＋
＝ ( − 3asin tcos t ) ＋ ( 3asin tcos t )
dt
dt
2
2
2
＝ 9a sin tcos t
( ) ( )
t＝ π
−a
a
t＝ π
2
0
a
−a
t＝ 0,2π
t＝
x
3
π
2
9a2sin2 tcos4 t ＋ 9a2sin4 tcos2 t
2
2
2
2
2
＝ 9a sin tcos t(cos t ＋ sin t)
1
よ っ て ， 求 め る 曲 線 の 長 さ l は， 曲 線 の 対 称 性 も 考
x 軸， y 軸に関して対称な曲線
慮に入 れ て ，
∫
＝4∫
l＝4
√( ) ( )
dx
dt
π
2
0
π
0
＝ 4・3 a
＝ 6a
[
＋
dy
dt
2
dt
∫
0
π
2
{
si n t・c o st d t
f
1
si n 2 t
2
]
f´
π
2
0
(
π
より，
2
sin t ≧ 0
cos t ≧ 0
0≦t≦
√ 9 a 2 si n 2 t c o s 2 t d t
2
＝ 12 a
2
4×
0
π
2
2
1
2
− sin
2
0
2
0
)
π
2
θ ＝π
2
θ ＝0
0
∫
＝ 6a sin
y
a
f・f ´ d t ＝
の形だね。
x
a
[ 21 f ]
π
2 2
0
…………………………………………………( 答 )
241
積分法とその応用
{
講義
この曲線は，お星様キラリの形のアステロイド曲線だね。媒介変数表
示された曲線の長さの公式： l ＝
4
5
6
微分法とその応用
ヒント！
3
CHECK
関数の極限
アステロイド曲線の長さ
媒介変数表示された曲線の長さ
演習問題 89
難易度 ★★★
1
2
CHECK
CHECK
原点 O を 中 心 と する半径 3 の円を A とする。
半径 1 の円
( 以 下，
「 動 円 」 と 呼 ぶ ) は，円 A
円A
に外 接 し な が ら ，すべることなく転がる。た
だ し， 動 円 の 中 心 は 円 A の 中 心 に 関 し 反 時
計 回 り に 動 く。 動 円 上 の 点 P の 始 め の 位 置 を
y
−3
( 3 ，0 ) と す る 。動 円 の 中 心 と 原 点 を 結 ぶ 線 分
≦
θ
3
P
x
−3
が x 軸 の 正 の 向 き となす角を θ として， θ を
0≦θ
動円
3
0
3
CHECK
2π
の 範 囲で動かしたときの P の軌跡 を C と す る 。
3
( 1 ) C を 媒 介 変 数 θ を用いて表せ。
( 2 ) 曲 線 C の 長 さ を求めよ。
ヒント！
(1) 動円の中心を Q とおいて，OP ＝ OQ ＋ QP として，曲線 C を媒介変
数 θ で表せばいい。この考え方は，P45 で既に解説しているので，問題ないはずだ。
(2) の曲線 C の長さを L とおいて，L ＝
∫ √( ddxθ ) ( dydθ )
2π
3
0
2
＋
2
解答＆解説
dθ で計算すればいい。
ココがポイント
( 1 ) 右 図 の よ う に， 固 定 さ れ た 円 A の
y
3
まわりを動円がすべることなく回転
Q
R
す る も の と す る。こ こ で， 動 円 の 中 心
を Q と お き ，∠ Q Ox ＝ θ だ け 回 転 し
て い る と き， 円 A と 動 円 と の 接 点 を
動円
円A
−3
R とおく。
こ の と き ， 初 め 点 B ( 3 ，0 ) に あ っ た 動
0
θ
3θ
θ
P
B ( 3 ，0 ) x
−3
円 の 周 上 の 点 P を P ( x ，y ) とおくと
O P ＝ O Q ＋ Q P ……①となる。
( ⅰ ) O Q は，長さ 4 の動径が原点 0 のまわりに
θ だけ回転したものと考えて
O Q ＝ ( 4 c o sθ ，4 s i nθ ) ……となる。
242
4
0
θ
Q
4 x
講義
＝ ( − c o s4θ ，− s i n 4θ ) ……③
以上 ( ⅰ )( ⅱ ) よ り②，③を①に代入して，
OP ＝ ( x ，y ) ＝ ( 4 c o sθ
− c o s 4θ ，4 s i nθ − s i n 4θ )
∴ 曲 線 C を ， 媒 介 変 数 θ で 表 す と， 次 の よ う に
{
x ＝ 4 c o sθ
y ＝ 4 si nθ
− c o s 4θ
( 0 ≦ θ ≦ 23 π ) ………( 答 )
− s i n 4θ
( ) ( )
2
＋
dy
dθ
θ
2 s i n 2 32
2
3θ
2
√( ) ( )
0
∫
0
2π
3
∠ RQP ＝ 3θ となる
＋
2
2
2
＋
＝ 1 6 ･ ( sin
＋ 16 ( sin
2
θ ＋ cos θ )
2
2
2
1
4θ ＋ cos 24θ )
1
− 32 ( cos4θ cosθ
＋ sin4θ sinθ )
となる
−
α
s i n 2α ＝ 1 c2o s 2 を使った
よっ て ， 求 め る 曲 線 C の長さを L とおくと，
dx
dθ
RP
＋ ( 4cosθ − 4cos4θ )
＝ 3 2 ( 1 − c o s 3θ ) ＝ 6 4 ･ s i n
2π
3
RB
＝ ( − 4sinθ ＋ 4sin4θ )
2
c o s (α − β ) ＝ c o sα c o sβ ＋ s i nα s i nβ を使った !
＝8
の 弧 RP の 長 さ は 等
2
c o s ( 4θ − θ ) ＝ c o s 3θ
∫
円 A の 弧 RB と 動 円
( ddxθ ) (ddyθ )
＝ 3 2 − 3 2 ( c o s 4θ ･ c o sθ ＋ s i n 4θ ･ s i nθ )
L＝
P
3 ･θ ＝ 1 ･ 3θ
dx ＝ −
4 ･ si nθ ＋ 4 ･ s i n 4θ
dθ
dy
θ − 4 ･ c o s 4θ より
dθ ＝ 4 ･ c o s
dx
･ d
θ
x
3θ
R
しいので
なる 。
(2)
講義
θ
dy
dθ
2
dθ
3
si n 2 θ dθ ＝ 8 ･ 23
[
− cos
3θ
2
]
2π
3
0
16 ( −
32
＝
c o s π ＋ c o sθ ) ＝ 3 となる……( 答 )
3 ･
(−1 )
1
dx
dy
√ ( dθ ) (dθ )
2
＝
＋
√ 6 4 ･ sin
＝8
3
2
2
3θ
2
| sin 2 θ |
0 以上
＝ 8 sin
講義
講義
積分法とその応用
{
Q
− s i n 4θ
微分法とその応用
− c o s 4θ
4
5
6
関数の極限
( ⅱ ) 次 に ， Q P は，点 Q を中心に考えると， 長
さ 1 の動径が Q のまわりに θ ＋ 4 π ( ＝ θ ＋ π
＋ 3 π ) だけ回転したものと考えて，
QP ＝ ( 1・c o s ( π ＋ 4θ ) ， 1・s i n ( π ＋ 4θ ))
3θ
2
( ∵ 0 ≦ θ ≦ 23 π )
243
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