数学 A2 §5 演習問題解答例

数学 A2 §5 演習問題解答例
∫
解 9. どちらも g(x) = 1 としたときの部分積分公式
∫
f (x)dx = xf (x) −
xf ′ (x)dx
を使う. また, 逆三角関数の微分公式は
(
)′
tan−1 x =
(
1
,
1 + x2
)′
1
sin−1 x = √
1 − x2
であった.
(1)
∫
tan
[最後に公式
∫
−1
∫
1
x·
dx
1 + x2
∫
2x
1
−1
= x tan x −
dx
2
2
x +1
1
= x tan−1 x − log(x2 + 1) + C
2
xdx = x tan
f ′ (x)
dx
f (x)
−1
x−
= log |f (x)| + C を使った.]
(2)
∫
−1
sin
−1
xdx = x sin
−1
= x sin
ここで t = 1 − x2 とおくと,
∫
2 − 12
x(1 − x )
∫
よって
∫
dx =
t
− 12
∫
x· √
x−
∫
x−
1
dx
1 − x2
x(1 − x2 )− 2 dx
1
dt
1
= −2x より xdx = − dt であるから,
dx
2
( )
√
1
1
1
−
dt = − · 2t 2 + C = − 1 − x2 + C
2
2
sin−1 xdx = x sin−1 x +
√
1 − x2 + C.
解 10.
∫
∫
(log x) dx = (log x)n · 1dx
∫
n
= x(log x) − x {(log x)n }′ dx
∫
1
n
= x(log x) − x · n(log x)n−1 · dx
x
∫
= x(log x)n − n (log x)n−1 dx
n
In =
= x(log x)n − nIn−1
[ここでも g(x) = 1 としたときの部分積分公式を用い, (log x)′ =
この問題のように部分積分から漸化式を導く応用例は多い. ]
1
x
をうまく使った.
解 11. sinn x = sinn−1 x sin x として部分積分を行う.
∫ π
2
sinn−1 x sin xdx
In =
0
[
]π
= sinn−1 x(− cos x) 02 −
∫
= (n − 1)
π
2
∫
π
2
(n − 1) sinn−2 x cos x(− cos x)dx
0
sinn−2 x cos2 xdx
0
∫
= (n − 1)
π
2
sinn−2 x(1 − sin2 x)dx
0
∫
= (n − 1)
∫
π
2
sin
0
n−2
π
2
xdx − (n − 1)
sinn xdx
0
= (n − 1)In−2 − (n − 1)In
n−1
よって nIn = (n − 1)In−2 より, In =
In−2 が成り立つ.
n
∫ π
π
2
4
4 2
sin xdx = [− cos x]02 = 1
解 12.
(1) 前問より I5 = I3 = · I1 が成り立つ. I1 =
5
5 3
0
∫ π
2
8
より,
sin5 xdx = I5 = .
15
0
∫ π
2
7
7 5
7 5 3
π
(2) 同様に I8 = I6 = · I4 = · · I2 . また I2 =
sin2 xdx = である
8
8 6
8 6 4
4
0
∫ π
2
35π
.
から,
sin8 xdx = I8 =
256
0

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