(1) {u ∈ C ∫ R u(x)dx = 0} (3) {u ∈ C (x)| ≤ 1 (x ∈ R)} (1) S = {u

数学解析第１回レポート
課題：1 から 11 を解いて，レポートにまとめて提出
締め切り日時：7 月 16 日（水）本講義終了まで（厳守）
提出先：本講義後に直接提出、または J 棟 6F・数理教室事務室外のレポート回収ボックスに提出
(レポート回収ボックスの締め切りは 7 月 15 日)
1. C(R) を R 上で定義された実数値連続関数からなる線形空間とする．以下に与える C(R) の部
分集合が C(R) の部分空間になるかどうか調べよ．
∫R
(1) {u ∈ C(R); u は R 上の偶関数 } (2) {u ∈ C(R); 各 R > 0 に対して −R u(x)dx = 0}
(3) {u ∈ C(R); u は R 上で C 1 級で，|u′ (x)| ≤ 1 (x ∈ R)}
2. C[0, 1] を閉区間 [0, 1] 上で定義された実数値連続関数からなる線形空間とし，u ∈ C[0, 1] に対
して ∥u∥ = maxx∈[0,1] |u(x)| でノルムを定める．以下の問いに答えよ．
(1) S = {u ∈ C[0, 1]; u(x) > 0 (x ∈ [0, 1])} が開集合であることを示せ．
(2) T = {u ∈ C[0, 1]; |u(x)| ≤ 1 (x ∈ [0, 1])} が閉集合であることを示せ．
3. X をノルム空間とする．任意の u, v ∈ X に対して |∥u∥ − ∥v∥| ≤ ∥u − v∥ が成り立つことを
示せ．
4. X を内積空間とする．任意の u, v に対して 2∥u∥2 + 2∥v∥2 = ∥u + v∥2 + ∥u − v∥2 (中線定理)
が成り立つことを示せ．
5. (1) X をノルム空間，{un }∞
n=1 を X における点列, u ∈ X とする．∥un − u∥ → 0 (n → ∞) な
らば ∥un ∥ → ∥u∥ (n → ∞) となることを示せ．
∞
(2) X を内積空間とし，{un }∞
n=1 , {vn }n=1 を X における点列，u, v ∈ X とする．∥un − u∥ →
0, ∥vn − v∥ → 0 (n → ∞) ならば (un , vn ) → (u, v) (n → ∞) となることを示せ．
6. 関数 u : R → R を u(x) = max{x, 0} (x ∈ R) で定義する．以下の問いに答えよ．
(1) u ∈ L1loc (R) となることを示せ．
(2) v : R → R は x ≥ 0 のとき v(x) = 1, x < 0 のとき v(x) = 0 となる関数とする．v は u の一般
化された導関数となることを示せ．
7. a, b を a < b なる実数とする．u ∈ H 1 (a, b), v ∈ C01 (a, b) ならば uv ∈ H 1 (a, b) となり，さらに
uv の一般化された導関数 (uv)′ に対して，(uv)′ = u′ v + uv ′ が成り立つことを示せ．
8. A をノルム空間 X からノルム空間 Y への有界線形作用素とする．A の核 N (A) は X の閉部分
空間となることを示せ．
9. X を Hilbert 空間，L を X の閉部分空間とする．L への射影作用素 PL は ∥PL ∥ = 1 をみたす
X から X への有界線形作用素となることを示せ
10. Ω ⊂ Rm を有界領域，f ∈ L2 (Ω) とするとき，次の偏微分方程式を考える．
{
−∆u(x) + u(x) = f (x), x ∈ Ω,
(∗)
u(x) = 0, x ∈ ∂Ω
(∗) の弱解とは u ∈ H01 (Ω) で次の等式を満たすものをいう．
(∇u, ∇φ)L2 + (u, φ)L2 = (f, φ)L2 , ∀φ ∈ H01 (Ω).
(1) F : H01 (Ω) → R を F (φ) = (f, φ)L2 (φ ∈ H01 (Ω)) で定めるとき，F は H01 (Ω) 上の有界線形汎
関数となることを示せ．
(2) (∗) の弱解は一意的に存在することを示せ．
1
∞
2
10. X を Hilbert 空間，{φn }∞
n=1 を X における正規直交系とする．a = (an )n=1 ∈ ℓ とするとき，
∑∞
無限級数 n=1 an φn は X で収束することを示せ．
11. X を Hilbert 空間とし，A, B ∈ L (X) とする．このとき以下を示せ．
(1) (A + B)∗ = A∗ + B ∗
(2) A が全単射ならば，A∗ も全単射で (A∗ )−1 = (A−1 )∗
2

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