DT Dt = ∂T ∂t + u · ∇T = 1 ρcp ∂Q ∂z + ∂ ∂z ( κ ∂T ∂z ) ∫ 0

熱保存則から
DT
∂T
1 ∂Q
∂
=
+ u · ∇T =
+
Dt
∂t
ρcp ∂z
∂z
(
)
∂T
κ
∂z
鉛直方向に積分し，連続方程式 ∇ · u = 0 を用いると，
∫
0
−h
∂T
dz +
∂t
∫
0
1
∇ · (uT )dz =
ρcp
−h
∫
)
(
∂T
∂Q +
∂ κ
∂z
Qpen
κ ∂T
|
z=−h
∂z
Q0
∫
0
(1)
ここで，2 変数の部分積分は
∂
∂x
∫
∫
g(x,t)
g(x,t)
f (x, t)dt =
a
a
∂f
∂g
dt + f (x, g)
∂x
∂x
となる．
［証明］
∂
∂x
∫
a
g(x,t)
1
f (x, t)dt = lim
∆x→0 ∆x
1
= lim
∆x→0 ∆x
1
+ lim
∆x→0 ∆x
∫
g(x,t)
(1st term on rhs) =
a
(∫
∫
g(x+∆x,t)
f (x + ∆x, t)dt −
a
(∫
f (x, t)dt
a
)
g(x+∆x,t)
(f (x + ∆x, t) − f (x, t))dt
(∫
z
∫
g(x+∆x,t)
f (x, t)dt −
a
)
g(x,t)
f (x, t)dt
a
∂f
dt
∂x
∫ g(x+∆x,t)
f (x, t)dt g(x + ∆x, t) − g(x, t)
∆→0 g(x + ∆x, t) − g(x, t)
(x + ∆x) − x
(2nd term on rhs) = lim
g(x,t)
= f (x, g(x, t))
∂g
∂x
故に，
∂
∂x
∫
∫
g(x,t)
f (x, t)dt =
a
)
g(x,t)
a
1
g(x,t)
∂f
∂g
dt + f (x, g)
∂x
∂x
これを用いて，
∫
0
−h
∫ 0
−h
∫ 0
−h
∂
∂
(uT )dz =
∂x
∂x
∂
∂
(vT )dz =
∂y
∂y
∫
0
−h
∫ 0
−h
∂h
∂x
(2)
∂h
∂y
(3)
uT dz − u−h T−h
vT dz − v−h T−h
∂
(wT )dz = −w−h T−h
∂z
(4)
ここで，ある変数 x を混合層内で鉛直平均したものを
1
xa =
h
∫
0
xdz
−h
と書く．よって，
∫
0
∂Ta
∂h
∂h
∂T
dz = h
+ Ta
− T−h
∂t
∂t
∂t
∂t
−h
(5)
ここで，(2)，(3) 式の右辺第 2 項を ua や Ta で書き表す．
( ∫
ua
)
∫ 0
∂Ta
∂
T dz =
udz
+ Ta
udz
∂x
∂x −h
−h
−h
( ∫ 0
) ∫ 0
∫ 0
∂
∂Ta
∂
va
T dz =
vdz
+ Ta
vdz
∂y
∂y
∂y −h
−h
−h
∂
∂x
0
∫
0
(6)
(7)
連続方程式から
∫
0
(
−h
w−h
∂
=
∂x
∫
∂u ∂v
∂w
+
+
∂x ∂y
∂z
0
)
∂h
∂
udz − u−h
+
∂x ∂y
−h
dz = 0
∫
0
−h
vdz − v−h
∂h
∂y
(8)
(6),(7),(8)×Ta から
∫
0
∂Ta
∂
udz
−
∂x
∂x
−h
(
( ∫ 0
)
∂Ta
∂
udz +
vdz
−
Ta
vdz
∂y
∂y
−h
−h
−h
)
(
∂h
∂h
+ v−h
+ w−h = 0
+Ta u−h
∂x
∂y
∫
Ta
0
)
∫
2
0
(9)
また，
∂
∂x
∂
∂y
(
∫
ua Ta
(
va Ta
)
0
dz
−h
∫ 0
)
dz
−h
∂
=
∂x
∂
=
∂y
( ∫
ua
(
va
)
0
T dz
−h
∫ 0
(10)
)
T dz
(11)
−h
(1) に (2)-(5) を代入，(9)-(11) を足すと
∂Ta
+ ua · ∇Ta + ∇ ·
∂t
∫
0
−h
)
∂h
+ u−h · ∇h + w−h
∂t
(12)
Q0 − Qpen
κ ∂T
=
−
|z=−h
ρcp h
h ∂z
u0 T 0
Ta − T−h
dz +
h
h
(
ここで，u0 , T 0 は
u = ua + u0
T = Ta + T 0
混合層水温収支解析を行う際，シア流，鉛直拡散などを残差に含めて，
(
)
∂Ta
Q0 − Qpen
∂h Ta − T−h
=
− ua · ∇Ta − w−h +
+ res
∂t
ρcp h
∂t
h
(13)
として扱う．
蓄熱量収支解析の際，h が定数 H となるので，
∂
∂t
∫
∫
0
−H
ρcp T dz + ua ·
∫
0
−H
ρcp T dz + ∇ ·
0
ρcp u0 T 0 dz + ρcp w−H (Ta − T−H )
−H
(14)
∂T
= Q0 − Qpen − ρcp κ
|z=−H
∂z
H を STMW の中心と設定するので，鉛直拡散，Qpen は小さいと考えられる．
ここで，水平移流に関する項を残差として，見積もるとして，
∂
∂t
∫
0
−H
ρcp T dz = Q0 − w−H ρcp (Ta − T−H ) + res
3
(15)

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