環境流体力学 environmental hydraulics

5-3.水深平均した流れの基礎式
「ポイント①」：静水圧近似
「ポイント②」：境界層近似
「ポイント③」：ライプニッツの規則
「ポイント④」：運動学的境界条件
（積分区間が変化する微分と積分の入れ替え）
「ポイント⑤」：運動量補正係数
「ポイント⑥」：風による水表面せん断応力
「ポイント⑦」：底面せん断応力
1) 鉛直2次元的な流れ
z
自由水表面
z
海底面
zb
x
y方向に現象
は変化しない
0
u  (uu )  (vu )  ( wu )
1  p  (u ' u ')  (v' u ') ( w' u ')







 Fx
t
x
y
z
x
x
y
z
 v  (u v)  (vv) ( wv)
1  p (u ' v')  (v' v')  ( w' v')







 Fy
t
x
y
z
y
x
y
z
 w  (u w)  (v w)  ( ww)
1  p  (u ' w')  (v' w')  ( w' w')







 Fz
t
x
y
z
z
x
y
z
u  v  w
 
0
x y z
-g
2) 静水圧近似
（水平スケール）＞＞（鉛直スケール）
鉛直方向：
（圧力勾配項）～（重力項）
z方向の運動方程式
 w  (u w)  ( ww)
1  p  (u ' w')  ( w' w')





g
t
x
z
z
x
z
0  
1 p
 g  p  g (z  z )
z
3) 境界層近似
u (uu) (wu)
1  p (u' u') (w' u')





t
x
z
x
x
z
（水平スケール）＞＞（鉛直スケール）
u (uu) (wu)
1  p (u' u') (w' u')





t
x
z
x
x
z
z方向の運動方程式代入
u (uu) (wu)
 z (w' u')


 g

t
x
z
x
z
「静水圧近似」、「境界層近似」を適用した場合
→鉛直2次元的な流れ（密度一定）
 u  (uu )  ( wu )
 z  ( w' u ')

 g

 
t
x
z
x
z
＜基礎式＞ 
u  w


0

x z
上2式を水深について積分。
z
z
z
z
 z u
(uu )
( wu )
z
( w' u ')
dz  
dz    g
dz  
dz
  dz  
x
z
x
z
 zb t
zb
zb
zb
zb

z
z

u
w

dz   dz  0


x
z
zb
zb

4) ライプニッツの規則
積分区間が微分の変数に依存する時、
微分と積分の単純な入れ替えができない。
b ( t ) f ( x, t )
 b (t )
f ( x, t )dx  
dx

a (t )
t a ( t )
t
db
da
 f (b, t )  f (a, t )
dt
dt
各項（その1）
z
z
zb
u

z
z t dz  t z udz  us t  ub t
b
b
z
z
zb
 (uu )

z
z x dz  x z (uu)dz  us us x  ub ub x
b
b
z
 ( wu )
z z dz  ws us  wb ub
b
z
z
z
g
dz  (z  zb ) g
x
x
z
b
z
 ( w' u ')
z z dz  (w' u') s  (w' u')b
b
各項（その2）
z
z
zb
u

z
z x dz  x z udz  u s x  u b x
b
b
z
w
z z dz  ws  wb
b
以上より、
z
z
zb 
zb

z
z
udz  u s
 ub
  (uu )dz  u s u s
 ub ub

t zb
t
t x zb
x
x
z
 ws u s  wb ub  (z  zb ) g
 ( w' u ') s  ( w' u ') b
x
z
zb

z
udz  u s
 ub
 w s  wb  0

x zb
x
x
各項（その3）
整理すると、
z
z


z
 z

udz   (uu )dz  u s 
 us
 ws 

t zb
x zb
x
 t

zb
 zb

 ub 
 ub
 wb 
x
 t

z
 (z  zb ) g
 ( w' u ') s  ( w' u ')b
x
z


 z
  zb
udz   u s
 ws    u b
 wb   0

x zb
 x
  x

5) 運動学的境界条件
境界にあった流体粒子は常に境界に存在し続ける。
（砕波などを除く）
v  (u, v, w)
t+Dt
t
境界の位置を表わす関数：F(x, y, z; t)=0
時刻tの流体粒子の位置：x, y, z
→粒子が水表面にある時： F(x, y, z; t)=0
時刻tの流体粒子の位置：
x+uDt, y +vDt, z +wDt
→粒子が境界にある時：
F(x+uDt, y +vDt, z +wDt; t +Dt)=0
「境界にある粒子：
境界にずっと存在しつづける」
ならば
F：常に0→時間的に変化しない。
着目粒子のFが時間的に一定
DF
0
境界において
Dt
■自由水表面
z=z(x;t)⇒ z－z(x;t)＝0
つまり、 z－z(x;t)＝F
DF F
F
F
z
z

 us
 ws

 us
 ws
Dt
t
x
z
t
x
z
z

 us
 ws
t
x
■海底面
z=zb(x)⇒ z－ zb(x) ＝0
つまり、 z－ zb(x) ＝F
zb
DF F
F
F

 us
 ws
 u b
 wb
Dt
t
x
z
x
zb
 ub
 wb
x
したがって、
z
z


z
 z

udz   (uu )dz  u s 
 us
 ws 

t zb
x zb
x
 t

zb
 zb

 ub 
 ub
 wb 
x
 t

0
z
 (z  zb ) g
 ( w' u ') s  ( w' u ')b
x
z


 z
  zb
udz   u s
 ws    u b
 wb   0

x zb
 x
  x

z

t
0
以上より、
z
z


z
udz   (u u )dz  (z  zb ) g
 ( w' u ') s  ( w' u ') b

t zb
x zb
x
z

z
udz 
0

x zb
t
z  zb  h,
z
 udz  q  h  v  とおくと、
zb
z
q 
z
  (uu )dz  hg
 ( w' u ') s  ( w' u ')b
t x zb
x
q z

0
x t
6) 運動量補正係数
水深平均値を X それからの偏差を X '
X  X  X'
1
X '
z  zb
z
1
z X ' ( z, t )dz  z  zb
b
z
 X ( z, t )  X (t )dz
zb
z


1 
1
z  zb X (t )

   X ( z , t ) dz 
z  zb  zb
 z  zb
1
1
z  zb X (t ) 
z  zb X (t )  0

z  zb
z  zb
1
2
X' 
z  zb
z
2
X
'
 ( z, t )dz  0
zb


2
2
2
 X  X  X '  X  2 X X '  X '  X  X '2
2
つまり
X
X’
X X
2
－側
2
2
－側
+側
+側
+
+側と－側が
キャンセル
X
0
Xの分布
+
－
0
X’の分布
X' 0
+
キャンセルし
ない
0
X’2の分布
X '2  0
z
 (uu )dz  (z  z )  u  u 
b
zb
補正係数導入
z
 (uu )dz   (z  z )  u  u 
b
zb
運動量補正係数
流速分布が「対数分布則」
→ = 1.028
7) 風による水表面でのせん断応力
風なし→水表面のせん断応力0
風あり：
 s  a C f W10 W10
 s : 水表面での風によるせん断応力
 a : 空気の密度
C f : 抵抗係数
W10 : 基準高さ10mの風
抵抗係数
 103
W10  10m / s
Cf  
W10  10m / s
a  b W10
風が大きくなると、海表面の起伏
が大きくなる
→一般にCfは増大
8) 底面せん断応力
b   Cf  u   u 
Cf：海底摩擦係数
よく、 Cf =0.0026が使われる。
9) 無風時の基礎式
無風時を考える。
また、運動量補正係数を導入すると、基礎式は
(h  u ) 
 z b
 h  u  u  hg

t
x
x 
z (h  u )

0
t
x
 u  v,   1 とする。
(hv) 
z
 (hvv)  hg
Cf v v
t
x
x
z  (hv )

0
t
x
10) 基礎式の線形化
静止状態： z 0  z  const .
v0  0
静止状態からの微小変動：
z  z 0  z 1   2z 2      

2
v

v


v


v2      
0
1

：微小量
基礎式に代入
0の項：静止状態
1の項のみを記述すると、
  (hv1 )
 z1
  hg

t
x

 z 1   (hv1 )  0
 t
x
水深一定の場合
z
 v
h t   hg  x      (1)

 z  h v  0      (2)
 t
x
変動が小さい場合、
非線形項は無視できる
  2z
 2z
 2  gh
t
 x2
 2
2

v

v

 gh 2
2
 t
x

Download Report