Wolstenholme の定理風あざみ 2014/03/25 目次 1 記号の説明編 2 2 Wolstenholme の定理の説明編 2 3 証明の準備編 3 4 Wolstenholme の定理の証明編 3 1 1 記号の説明編 p を素数、k を 1 ≤ k ≤ p − 1 をみたす整数とするとき、xk を以下のように定義する。 xk := 2 (p − 1)! k Wolstenholme の定理の説明編 p を 5 以上の素数とすると、下記の分数の分子は p2 で割り切れる。 p−1 ∑ 1 k k=1 2 証明の準備編 3 命題１：p を素数、k を 1 ≤ k ≤ p−1 をみたす整数とするとき、xp−k ≡ −xk (mod p) が成り立つ。証明：(p − k) · xp−k = k · xk = (p − 1)! より、−k · xp−k ≡ k · xk がいえる。k と p は互いに素だから、xp−k ≡ −xk (mod p) (mod p) が成り立つことが言える。 □ p−1 2 命題２：以下の個の数は法 p ですべて異なる。 x21 , x22 , · · · , x2p−1 2 証明：1 ≤ i < j ≤ p−1 2 をみたす整数 i, j が存在して、x2i ≡ x2j (mod p) となると仮定する。 i2 · x2i ≡ j 2 · x2j ≡ j 2 · x2i ≡ {(p − 1)!}2 ここで、x2i 2 2 (mod p) と p は互いに素だから、i ≡ j 2 2 (mod p) が成り立つ。よって j − i = (j + i)(j − i) が p で割り切れる。p は素数だから、j + i または j − i が p で割り切れるはずだが、0 < j − i < j + i ≤ p − 1 < p だから不合理。よって命題２はいえた。 □ Wolstenholme の定理の証明編 4 定理３：p を 5 以上の素数とすると、下記の分数の分子は p2 で割り切れる。 p−1 ∑ 1 k k=1 証明：命題１と命題２を用いて計算する。 p−1 ∑ 1 1 1 = p( + + ··· + k 1·p−1 2·p−2 k=1 p−1 2 ∑ 1 1 p−1 p+1 ) = p k · (p − k) · 2 2 k=1 したがって、下記の分数の分子が p で割り切れることがいえればよい。 p−1 2 ∑ k=1 p−1 2 ∑ 1 xk · xp−k = k · (p − k) {(p − 1)!}2 k=1 命題１と命題２より p−1 2 ∑ k=1 p−1 xk · xp−k ≡ − 2 ∑ p−1 x2k ≡ − k=1 2 ∑ k2 ≡ k=1 以上より、定理３はいえた。 1 (p − 1) p + 1 · p ≡ 0 (mod p) 6 2 2 □ 3