コラッツ予想の変形について東邦大学理学部情報科白柳研究室 5511104 山中陽子コラッツ予想とは任意の0でない自然数を初期値𝑛とし, 𝑛に対して以下の操作を行うとする。 3𝑛 + 1 (𝑖𝑓 𝑛 𝑚𝑜𝑑 2 ≡ 1) 𝑛 2 (𝑖𝑓 𝑛 𝑚𝑜𝑑 2 ≡ 0) この操作を繰り返す必ず1に到達するだろう。この予想をコラッツ予想という。 1937年にローター・コラッツが提示。未だにこの主張が真かどうかは証明されていない。計算例初期値𝑛を10にして計算すると 10÷2 = 5 ３×５＋1 = 16 16÷2 = 8 8÷2 = 4 4÷2 = 2 2÷2 = 1 研究目的 Ⅰ コラッツ予想の式を変形し、1に到達するかどうかを調べる。 Ⅱ できるだけ大きい値まで調べる。（数式処理システムMapleを使用する） Ⅲ コラッツ予想以外の法則や特徴があれば見つける。コラッツ予想の式を変形コラッツ予想の式を変形すると以下のようになる。 3 n + 1 = ( 2 + 1 ) n + { 2 –1 } この式を更に変形すると ( 2 + 1 ) n + { 2 –1 } = ( 2 + 1 ) n + { 2 – ( n mod 2 ) } 一般化すると以下の式になる 𝒎 + 𝟏 𝒏 + 𝒎 – 𝒏 𝒎𝒐𝒅 𝒎 𝒏 𝒎 ( 𝒊𝒇 𝒎 ∤ 𝒏 ) ( 𝒊𝒇 𝒎|𝒏 ) この式を用いて、従来のコラッツ予想同様に1に到達するかどうかを調べる。今回は、１桁のｍの値で調べた。（ｍ＝３～９）計算例ｍ＝３、ｎ＝３６の場合 ( 𝟑 + 𝟏 ) 𝒏 + { 𝟑 − ( 𝒏 𝒎𝒐𝒅 𝟑 ) } 𝒏 𝟑 𝒊𝒇 𝟑 ∤ 𝒏 36÷3 = 12 𝒊𝒇 𝟑|𝒏 12÷3 = 4 ( 3 + 1 ) 4 + { 3 - (4 mod 3) } = 18 18÷3 = 6 6÷3 = 2 ( 3 + 1 ) 2 + { 3 - (2 mod 3) } = 9 9÷3 = 3 3÷3 = 1 m＝3の場合(ｎ＝１～１００００の範囲）１に到達する場合と、最小値が７になる場合の２通りになることが分かった。例 n = ９０、m = ３９０→３０→１０→４２→１４→５７→１９→７８→２６→１０５→３５ →１４１→４７→１８９→６３→２１→７→３０→・・・ループの中の最小値が７ｍ＝４の場合(ｎ＝１～１００００）１に到達する場合と、最小値が２３になる場合の２通りになることが分かった。例 n = １０１０→５２→１３→６８→１７→８８→２２→１１２→２８→７→３６→９ →４８→１２→３→１６→４→１ n = ２９２９→１４８→３７→１８８→４７→２３６→５９→２９６→・・・→１１７ →５８８→１４７→７３６→１８４→４６→・・・→２３→１１６→２９→１４８ →３７→１８８→４７→２３６→５９→２９６→７４→３７２→９３→４６８ →１１７→・・・ｍ＝５、７、８の場合(ｎ＝１～１００００）全て１に到達することが確認できた。例 n = ３０３０→６→４０→８→５０→１０→２→１５→３→２０→４→２５→５→１ n = １２１２→９８→１４→２→２１→３→２８→４→３５→５→４２→６→４９ →７→１ n = ３２３２→４→４０→５→４８→６→５６→７→６４→８→１ｍ＝６の場合(ｎ＝１～１００００）１に到達する場合と、最小値が２３、８８になる場合の３通りになることが分かった。例 n = １７１７→１２０→２０→１４４→２４→４→３０→５→３６→６→１ n = ８９８９→６２４→１０４→７３２→１２２→８５８→１４３→１００２→１６７ →１１７０→・・・→１３８→２３→１６２→２７→１９２→・・・→１３８→・・・ n = ８１８１→５７０→・・・→６１８→１０３→・・・→８８→６１８→１０３→・・・ｍ＝９の場合(ｎ＝１～１００００）１に到達する場合と、最小値が３５になる場合の２通りになることが分かった。例 n=２２→２７→３→３６→４→４５→５→５４→６→６３→７→７２→８→８１ →９→１ n = ４５１４５１→４５１８→５０２→５０２２→５５８→６２→６２１→６９→６９３ →７７→７７４→８６→８６４→９６→９６３→１０７→１０７１→１１９ →１１９７→・・・→３５→３５１→３９→・・・→３５→３５１→３９→・・・考察・コラッツ予想の式を変形して計算した結果、コラッツ予想と同様に１に到達する場合とそうでない場合を発見できた。・ｍ＝５，７，８に関しては、全て１に到達するので、コラッツ予想と関連性があると考えられる。・今回はｎの値を１～１００００まで調べたが、それ以降の値も同じ結果が得られると考えられる。今後の課題・ｍod mの値を増やす。（２桁以上）・ｎの値の範囲を広げて更に実験を行う。（１００００以上の値を計算する）・新たな一般化式を考える。