さまざまなスミス数の性質と出現頻度白柳研究室情報科学科４年小沼陽子スミス数とは各桁の数の和と各素因数の各桁の和が等しい自然数をスミス数と呼ぶ。各素因数の各桁の数の和各桁の数の和例：１６６１＋６＋６＝１３１６６＝２×８３２＋８＋３＝１３注意：素数はすべてスミス数である。よって、本研究では素数はすべて除くものとする。先行研究スミス数は無限にある。より大きいスミス数を発見するレースが行われている。 1から100万までの整数の中の3パーセント近くがスミス数である。研究目的スミス数に条件を加えて、その条件を満たすスミス数はどんな性質を持ち、どのくらいの出現頻度であるかについて考察する。本研究の条件 ①準素数であるスミス数 ②異なる3つの素数からなるスミス数 ③異なる4つの素数からなるスミス数 ④平方数でもあるスミス数計算機実験さまざまな条件のスミス数を出力するプログラムを作成し、実験した。結果その１すべてのスミス数を1～100000まで調べ、出現頻度をまとめた。スミス数合計個数・それぞれの区間で個数に大きな偏りはない。・数字が大きくなってもスミス数の個数に影響はあまりない。 1～10000 10001～20000 20001～30000 30001～40000 40001～50000 50001～60000 60001～70000 70001～80000 80001～90000 90001～100000 376 305 321 311 292 326 330 339 336 358 準素数であるスミス数下１桁が等しい→差が９０ｎ下２桁が等しい→差が９００ｎ下３桁が等しい→差が９０００ｎ・・下n桁が等しい→９ × １０𝑛 であると予想できた。差が一定であるということから、 9で割ると準素数であるスミス数は4あまるということに気が付いた。このことから、準素数であるスミス数は4(mod 9)であると予想できた。 4(mod 9)であることは、文献 “S.Yates: Smith numbers congruent to 4 (mod 9)”で書かれているが、証明は示されていなかったので、自ら証明し、命題として発表する。命題：準素数であるスミス数は4(mod9)である＜命題＞ n＝pq( p,q＝素数) n＝Smith 数＜証明＞ n∈N に対して、n の各桁の数の和を S( n) と書く。すなわち、n＝𝒂𝒏 𝟏𝟎𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 𝟏𝟎𝒏−𝟏 + ⋯ 𝒂𝟎 とすると S( n) = 𝒂𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 + ⋯ + 𝒂𝟎 である。一般に n≡S( n) ( mod9 ) ・・・① が成り立つ。 n=pqだから、スミス数の定義により、S(n)=S(p)+S(q) ①より、n≡p+q(mod9) ∴pq≡p+q(mod9)・・・② そして、pとqの積と和を並べ表にした。この2つの表と②より、「p≡2かつq≡2」または「p≡8かつ q≡5」または「p≡5かつq≡8」が得られる。このとき、いずずれもpq≡4となる。よって、証明された。異なる3つの素数からなるスミス数異なる3つの素数からなるスミス数は 6(mod 9)となることが予想できた。準素数の場合と同様、この予想の証明に成功した。定理：3つの素数からなるスミス数は6(mod9)である＜定理＞ n=pqr (p,q,r =ことごとく相異なる素数) n=スミス数＜証明＞準素数の場合と同様に pqr≡p+q+r(mod9)が成り立つ。表を用いて積と和の組み合わせを調べた。その結果、スミス数が存在するのは、p≡2,3であり、「p≡2かつq≡3かつr≡1」「p≡3かつq≡1かつr≡2」または「p≡3かつq≡2かつr≡1」「p≡3かつq≡4かつr≡8」または「p≡3かつq≡8かつr≡4」「p≡3かつq≡5かつr≡7」または「p≡3かつq≡7かつr≡5」このとき、すべて6(mod9)となる。よって、証明された。異なる４つの素数からなるスミス数異なる4つの素数からなるスミス数は、1～100000までで192個存在し、すべて以下の4種類にあてはめることができた。平方数でもあるスミス数平方数でもあるスミス数は、平方根が1～100000までで 1846個存在し、すべて以下の4種類にあてはめることができた。まとめ • スミス数は大きくなるにしたがって、疎になるということはなく、10000ごとに区切ると250～400の前後の個数でほぼ均等になっていることがわかった。 • 準素数は4(mod 9)であることは言われていたが、証明は書かれていなかったため、自ら証明をつけた。 • 異なる3つの素数からなるスミス数は、6(mod 9)であると予想し、証明に成功した。 • 異なる4つの素数からなるスミス数は、1～100000までの数のすべてが、2,3,6,8(mod 9)の中に振り分けることができた。 • 平方数でもあるスミス数は1～100000までの数すべてが、0,1,4,7(mod 9)に分けられた。今後の課題 • 今後の課題として、異なる4つの素数の積や平方数が mod 9で4通りとなることを、2つや3つの素数からなるスミス数の場合と同様に証明することである。 • 5つ以上の素数の積に関しても、スミス数の性質を追求していく。 • 今回は、4種類のスミス数について研究を進めてきたが、左右対称なスミス数、2進数に基づくスミス数である数など、さまざまな条件を考え、その特徴について追求していく。