数学系 - 埼玉大学工学部機械工学科

1
(1)
2 1 3 
1
3
3
1
4 
の階数 rank A および行列式 det(A)を求めよ．
A
  2  4 2  6


3
2
 4 2
2 1 3 
1
3
3
1
4 
.
Calculate the rank and the determinant of matrix A  
  2  4 2  6


3
2
 4 2
(2)関数 f ( x, y )  5 x 2  4 xy  8 y 2 について以下の問いに答えよ．
Answer the following questions on function f ( x, y )  5 x 2  4 xy  8 y 2 .
1)
f ( x, y )  5 x 2  4 xy  8 y 2  r t Ar
a c
 の成分 a，b，c
と書くとき，対称行列 A  
 c b
 x
を求めよ．ここで r    であり，上付き添え字 t は転置を表す．
 y
a c
 that satisfies
Find the components a, b and c of a symmetric matrix A  
 c b
 x
5 x 2  4 xy  8 y 2  r t Ar where r    and superscript t represents transpose of a vector.
 y
2)
1)で求めた行列 A の固有値と固有ベクトルを計算せよ．
Calculate eigenvalues and eigenvectors of matrix A defined in 1).
3)
2)で求めた固有ベクトルが直交することを示せ．
Show that eigenvectors obtained in 2) are orthogonal.
4)
5 x 2  4 xy  8 y 2  36 はどのような図形であるか？
What figure does 5 x 2  4 xy  8 y 2  36 draw?
平成 26 年度埼玉大学大学院理工学研究科（博士前期課程）入試問題（機械科学系専攻）
この入試問題の使用は受験生に限ります。また、許諾なく複製、転載、転用すること、および
営利目的での使用などを行うことはできません。
2
次の微分方程式の一般解を求めなさい． y は独立変数 x の関数で，その導関数を
dy
d2y
y 
， y  
で表す．
dx
dx 2
（Find the general solutions of the following ordinary differential equations. The variable y is the
function of the variable x .
(1)
The derivatives of y are denoted by y 
dy
d2y
, y  2 .)
dx
dx
xy   x  y
(変数変換を用いよ： Use change of variables.)
(2)
(1  x 2 ) y  3 y  0
(3)
y  9 y  0
(4)
y   y   2 y  2e  x
平成 26 年度埼玉大学大学院理工学研究科（博士前期課程）入試問題（機械科学系専攻）
この入試問題の使用は受験生に限ります。また、許諾なく複製、転載、転用すること、および営利
目的での使用などを行うことはできません。
3
(1) 以下の不定積分を求めよ．
(Evaluate the following indefinite integrals.)
x2  1
(1-1)
I1  
(1-2)
I 2   x sin x dx
x( x 2  1)
dx
(2) 以下の問いに答えよ．ただし，a は実定数とする．
(Answer the following questions, where a is a real constant.)
(2-1) lim
x 0
log(1  a x)
を求めよ．
x
(Find lim
x 0
log(1  a x)
.)
x
1
(2-2) lim 1  a x  x  e a を示せ．
x 0
1
(Show that lim 1  a x  x  e a .)
x 0
(3) 懸垂線 y 
x
a ax
(e  e a ) (b  x  b, a  0, b  0) について考える．懸垂線と 3 本の
2
直線 y  0，x  b および x b で囲まれた領域を R とする．
(Consider the catenary curve y 
x
a ax
(e  e a ) (b  x  b, a  0, b  0) .
2
Let R be the
region enclosed by the catenary and the three lines y  0, x  b and x b.)
(3-1) 領域 R の面積を求めよ．
(Find the area of the region R.)
(3-2) 領域 R を x 軸まわりに回転させてできる立体の体積を求めよ．
(Find the volume of the solid generated by revolving the region R about the x-axis.)
平成 26 年度埼玉大学大学院理工学研究科（博士前期課程）入試問題（機械科学系専攻）
この入試問題の使用は受験生に限ります。また、許諾なく複製、転載、転用すること、および
営利目的での使用などを行うことはできません。

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