数学系 - 埼玉大学工学部機械工学科

1
(1) 行列 A について，以下の問いに答えよ．
Consider the following matrix A.
8  4
5

A =  2  3 2 
 2
4  1 
a) A の固有値および固有ベクトルを全て求めよ．
Find all the eigenvalues and corresponding eigenvectors of the matrix A.
b) 固有ベクトルを列ベクトルとする行列 P を用いて，P-1AP の形で A を対角化せよ．
Diagonalize the matrix A using P-1AP where column vectors of the matrix P are the
eigenvectors of the matrix A.
c) A10 を求めよ．
Determine A10.
(2) 次の 4 点(O, A, B, C)について，以下の問いに答えよ．
Consider the following points O, A, B, and C.
O(0,0,0), A(–1, a, –3), B(–a, 2a –1, 1),
C(–a, a, a +6)
a) 点 O, A, B, C が同一平面上にあるための a の条件を求めよ．
Find the value of a when all the points lie in the same plane.
b) 点 O, A, B,C が作る四面体の体積が最大となる a を求めよ．但し，–2 ≤ a ≤ 2 とす
る．
Find the value of a which gives the maximum volume of the tetrahedron OABC,
provided –2 ≤ a ≤ 2.
平成 27 年度埼玉大学大学院理工学研究科（博士前期課程）入試問題（機械科学系専攻）
この入試問題の使用は受験生に限ります。また、許諾なく複製、転載、転用すること、および営利目的での使用などを
行うことはできません。
2
次の微分方程式(1)～(4)の一般解を求めよ．ただし， y は独立変数 x の関数で，その導
関数を y  
dy
d2y
, y   2 と表す．
dx
dx
(Find the general solution to the following differential equations (1) to (4). Here, y is a function
of the independent variable x. The first and second derivatives are denoted by y  
y  
dy
and
dx
d2y
, respectively.)
dx 2
(1) y   2 y  ye x  0
(2) 2 xy   2 y  3x 2  0
(3)
1
y   y   4 y
2
(4) y   y   2 x  5
平成 27 年度埼玉大学大学院理工学研究科（博士前期課程）入試問題（機械科学系専攻）
この入試問題の使用は受験生に限ります。また、許諾なく複製、転載、転用すること、および営利目的での使用などを
行うことはできません。
3
(1) 関数 y  x x について，一次導関数を求めよ．
(Evaluate the first derivative of a function, y  x x .)
(2) 以下の問い 1)～3)に答えよ．
(Answer the following questions 1) to 3).)
1) x  0 において， e x  1  x 
(Show e x  1  x 
x2 x3 x4


であることを示せ．
2
6 24
x2 x3 x4


for x  0 .)
2
6 24
2) e  1  1.7 であることを示せ
(Show e  1  1.7 .)
3) e e1  e  1.4 であることを示せ．
(Show e e1  e  1.4 .)
問題は次ページに続く．
(Continued to the next page.)
平成 27 年度埼玉大学大学院理工学研究科（博士前期課程）入試問題（機械科学系専攻）
この入試問題の使用は受験生に限ります。また、許諾なく複製、転載、転用すること、および営利目的での使用などを
行うことはできません。
(3) a, b を正の実数として， f x, y  

x2
y2
 1
a2 b2
1
x2 y2
 dxdy を考える． x  ar cos ，
a2 b2
y  br sin  として，以下の問い 1)～3)に答えよ．
(Consider f x, y  

2
2
x y
 1
a2 b2
1
x2 y2
 dxdy with positive real values of a and b.
a2 b2
Answer
the following questions 1) to 3) with letting x  ar cos and y  br sin  .)
x
1) ヤコビアン J r ,    y
r
r
x
y
 の値を求めよ．

x
x
(Find the determinant of the Jacobian matrix J r ,   y r y  .)
r

2) x  a ， y  b に対する  と r の値域を求めよ．
(Determine the range of  and r for x  a and y  b .)
3) f  x, y  の値を a, b を用いて表せ．
(Express the value of f  x, y  using a and b.)
以上
平成 27 年度埼玉大学大学院理工学研究科（博士前期課程）入試問題（機械科学系専攻）
この入試問題の使用は受験生に限ります。また、許諾なく複製、転載、転用すること、および営利目的での使用などを
行うことはできません。

Download Report