専門科目 - 筑波大学社会工学関連組織

平成２７年度
筑波大学大学院博士課程
システム情報工学研究科
社会工学専攻
（社会工学学位プログラム、
サービス工学学位プログラム）
博士前期課程（一般入学試験、
社会人特別選抜
試験問題
専門科目
平成２６年８月２１日
８月期）
筑波大学大学院システム情報工学研究科
博士前期課程社会工学専攻
平成２７年度入学試験学力検査問題
平成２６年８月２１日実施
専門科目
(1) この冊子には下表に示す３つの出題分野の問題が含まれています。社会工学学位プログラ
ムの受験者はその中から１つの出題分野を選択して解答しなさい。サービス工学学位プ
ログラムの受験者は数学の問題に解答しなさい。
(2) 各答案用紙の上部に、必ず受験番号を記入しなさい。
(3) 解答の初めに、必ず出題分野と問題番号（例えば、数学 I. ）を示しなさい。問題ごとに
別の答案用紙に解答しなさい。
出題分野
数学
ファイナンス
都市・地域計画
University of Tsukuba
Graduate School of Systems and Information Engineering
Department of Policy and Planning Sciences
ENTRANCE EXAMINATION
August 21, 2014
Major Subjects
(1) This package contains questions from 3 subject areas shown in the following table.
Applicants for the Master’s Program in Policy and Planning Sciences should choose one
subject area to answer. Applicants for the Master’s Program in Service Engineering
should answer the questions in Mathematics.
(2) Write your application number on the top of each answer sheet.
(3) Write the subject area and the question number (e.g., Mathematics I. ) on the top of
your answer. Use a separate answer sheet for each question.
Subject Areas
Mathematics
Finance
Urban and Regional Planning
数学
問題 I と II の両方に答えよ．問題ごとに別々の解答用紙を使用せよ．
以下では，実数全体の集合を R とする．
∑
I. n 次元ベクトル u1 , u2 , . . . , uk ∈ Rn に対し， ki=1 ai ui = 0 が成り立つのはすべての
i = 1, 2, . . . , k で ai = 0 の場合のみであるとき，u1 , u2 , . . . , uk は線形独立であるという．
(1) n 次元ベクトル u1 , u2 , . . . , uk が線形独立ではないための条件を，上で述べている線
形独立の定義に従って説明せよ．
(2) 以下の図は，線形独立な 2 本のベクトル u1 , u2 ∈ R2 を平面上に描いた例である．平
面上に，線形独立ではない異なる 2 本のベクトルの例を描け．
6
u1
o
u
* 2
(3) 以下の R3 の 3 本のベクトルが線形独立ではないことを，(1) で示した条件を用いて
示せ．
 


 
1
1
2
 


 
u1 =  2  , u2 =  0  , u3 =  2  .
3
−3
0
(4) u1 , u2 , u3 ∈ Rn が線形独立であり，v 1 = u1 + u3 , v 2 = u1 + pu2 , v 3 = u1 − pu2 +
2pu3 であるとする. v 1 , v 2 , v 3 が線形独立となる p の条件を求めよ．
II. 以下の 2 変数関数 f : R2 → R を考える．
{
f (x, y) =
xy
x2 +y 2
if (x, y) 6= (0, 0),
0
if (x, y) = (0, 0).
(1) (x, y) 6= (0, 0) である (x, y) ∈ R2 における，f の偏導関数 fx ，fy を求めよ．
f (x(t), y(t)) − f (1, 1)
(2) 実数 t ∈ R について，(x(t), y(t)) = (1 + t, 1 − t) とする．lim
t→0
t
を求めよ．
(3) 実数 t ∈ R について，(x(t), y(t)) = (t, t) とする．lim f (x(t), y(t)) を求めよ．
t→0
1
(4) 実数 t ∈ R について，(x(t), y(t)) = (t, t2 ) とする．lim f (x(t), y(t)) を求めよ．
t→0
R2
(5) 関数 g :
対して，
→ R について，ある (a, b) ∈
R2
が存在して，十分小さな (u, v) ∈ R2 に
√
g(¯
x + u, y¯ + v) = g(¯
x, y¯) + (au + bv) + o( u2 + v 2 )
√
が成り立つとき，g は (¯
x, y¯) ∈ R2 で全微分可能であるという．ただし o( u2 + v 2 )
は，
√
o( u2 + v 2 )
√
lim
=0
√
u2 + v 2
u2 +v 2 →0
をみたす．g が (¯
x, y¯) ∈ R2 において全微分可能であるとき，g は (¯
x, y¯) において連
続である，すなわち， lim g(x, y) = g(¯
x, y¯) が成り立つことを示せ．
(x,y)→(¯
x,¯
y)
(6) f は (¯
x, y¯) = (0, 0) において全微分可能かどうか，理由とともに示せ．
2
Mathematics
Answer both questions I and II. Use a separate answer sheet for each question.
In what follows, let R be the set of all real numbers.
I. We say that n-dimensional vectors u1 , u2 , . . . , uk ∈ Rn are linearly independent if
∑k
i=1 ai ui = 0 holds only when ai = 0 for all i = 1, 2, . . . , k.
(1) Explain a condition that n-dimensional vectors u1 , u2 , . . . , uk are not linearly independent in accordance with the above deﬁnition of linear independence.
(2) The following ﬁgure shows an example of linearly independent two vectors u1 , u2 ∈
R2 drawn onto the plane. Illustrate an example of two distinct vectors which are
not linearly independent onto the plane.
6
u1
o
u
* 2
(3) Show by using the condition shown in (1) above that the following three vectors
in R3 are not linearly independent:
 


 
1
1
2
 


 
u1 =  2  , u2 =  0  , u3 =  2  .
0
3
−3
(4) Let u1 , u2 , u3 ∈ Rn be linearly independent, and v 1 = u1 + u3 , v 2 = u1 + pu2 ,
v 3 = u1 − pu2 + 2pu3 . Find the condition of p such that v 1 , v 2 and v 3 are linearly
independent.
II. Consider the following function of two variables f : R2 → R:
{
xy
if (x, y) 6= (0, 0),
2 +y 2
x
f (x, y) =
0
if (x, y) = (0, 0).
(1) Find the partial derivatives fx and fy of f at (x, y) ∈ R2 such that (x, y) 6= (0, 0).
f (x(t), y(t)) − f (1, 1)
(2) Find lim
, where (x(t), y(t)) = (1 + t, 1 − t) for t ∈ R.
t→0
t
3
(3) Find lim f (x(t), y(t)), where (x(t), y(t)) = (t, t) for t ∈ R.
t→0
(4) Find lim f (x(t), y(t)), where (x(t), y(t)) = (t, t2 ) for t ∈ R.
t→0
(5) We say that the function g : R2 → R is totally diﬀerentiable at (¯
x, y¯) ∈ R2 if there
exists (a, b) ∈ R2 such that for any suﬃciently small (u, v) ∈ R2 ,
√
g(¯
x + u, y¯ + v) = g(¯
x, y¯) + (au + bv) + o( u2 + v 2 )
√
holds. Here, o( u2 + v 2 ) satisﬁes
√
lim
u2 +v 2 →0
√
o( u2 + v 2 )
√
= 0.
u2 + v 2
Show that if g is totally diﬀerentiable at (¯
x, y¯) ∈ R2 then g is continuous at (¯
x, y¯),
i.e., lim g(x, y) = g(¯
x, y¯) holds.
(x,y)→(¯
x,¯
y)
(6) Determine whether f is totally diﬀerentiable at (¯
x, y¯) = (0, 0) or not, and prove
your answer.
4
ファイナンス
問題 I と II の両方に解答せよ．問題ごとに別々の解答用紙を使用せよ．
I. 以下の問いすべてに答えなさい．
(1) 中央銀行の主要な機能を 3 つ挙げ，それぞれについて説明しなさい．
(2) 名目ベースの利子率では無リスクの債券が，実質ベースの利子率では無リスクとは
考えられない理由について説明しなさい．
(3) 企業の ROE，ROA，財務レバレッジの定義を述べ，これら 3 つの関係について説明
しなさい．
II. 以下の問いすべてに答えなさい．
(1) 2 年満期，表面利率 (coupon rate) 4%，額面金額 1,000 ドルの債券の市場価格が 800
ドルであるとする．この債券の直接利回り (current yield) を求めなさい．また，満
期利回り (yield to maturity) を i とするとき，i が満たす式を答えなさい．
(2) ある資産から，毎年キャッシュフローが産み出されるとする．キャッシュフローは 1
年目に C であり，その後永久に毎年 g の率で増加していくとする．割引率を r で表
し，r > g と仮定する．この資産の現在価値を求めなさい．
(3) 期待収益率が年利 14%で標準偏差 0.20 のリスク資産 1 と，期待収益率が年利 8%で標
準偏差 0.15 のリスク資産 2 を考える．リスク資産 1 を 80%，リスク資産 2 を 20%で
構成したポートフォリオの期待収益率を求めなさい．
(4) 設問 (3) と同じ 2 種類のリスク資産を考える．ただし，これら 2 つの資産の期待収
益率の相関係数は 0 とする．最小分散ポートフォリオにおけるリスク資産 1 の割合
を求めなさい．
5
Finance
Answer both questions I and II. Use a separate answer sheet for each question.
I. Answer all the following questions.
(1) Show three of the primary functions of central banks, and explain each of them.
(2) Explain the reason that a bond which is risk free in terms of the nominal interest
rate will not be regarded as risk free in terms of the real interest rate.
(3) Describe the deﬁnitions of a ﬁrm’s ROE, ROA and ﬁnancial leverage, and then
explain the relationship among the three.
II. Answer all the following questions.
(1) Consider a bond with a 4% coupon rate maturing in two years and the face value
of $1,000. Suppose that its market price is $800. Find the current yield of this
bond. Also let i be the bond’s yield to maturity, and answer the formula that i
should satisfy.
(2) Consider a property which generates cash ﬂow every year. Suppose that the cash
ﬂow is C in the ﬁrst year, and then it grows by g percent each year in perpetuity.
Denote the discount rate by r and assume r > g. Derive the present value of this
property.
(3) Consider Risky Asset 1 with an expected rate of return of 14% per year and a
standard deviation of 0.20 and Risky Asset 2 with an expected rate of return of
8% per year and a standard deviation of 0.15. Find the expected rate of return of
the portfolio that invests 80% in Risky Asset 1 and 20% in Risky Asset 2.
(4) Consider the two types of risky assets as in question (3). Assume that the correlation coeﬃcient of the expected returns on the two assets is zero. Find the
proportion invested in Risky Asset 1 in the minimum-variance portfolio.
6
都市・地域計画
以下の問題 I から IV より 2 題を選択して解答せよ．問題ごとに別々の解答用紙を使用せよ．
I. 以下の 6 つの名称・用語から 3 つを選択して，それらの意味や内容について都市・地域計
画の視点から説明せよ．
1) ジョルジュ・オスマン
2) 斜線制限
3) レッチワース
4) ドローネ図
5) トランジットモール
6) MRT (平均放射温度)
II. 近隣住区理論により計画されたニュータウン開発の具体的事例を取り上げ、その理論がど
のように適用されたのかを説明せよ。またニュータウンの現時点における一般的問題点に
ついて論述せよ。
III. ウェーバー問題において，遍在投入物の価格 (例えば労働賃金) の最適企業立地に及ぼす
影響を説明せよ．必要に応じて，数式や図を用いること．
IV. 温室効果ガスの排出削減を目的とした，都市計画あるいは交通計画の政策・施策を事例と
ともに述べよ．
7
Urban and Regional Planning
Choose two questions from the following I–IV to answer. Use a separate answer sheet for
each question.
I. Choose three terms from the following six terms, then, brieﬂy explain their meanings
and/or concepts from the viewpoint of urban and regional planning.
1) Georges-Eug`ene Haussmann
2) Setback-Line Limit
3) Letchworth
4) Delaunay Diagram
5) Transit Mall
6) MRT (Mean Radiant Temperature)
II. Provide a speciﬁc example of new town development based on the theory of “Neighborhood Unit” and explain how the theory was applied in the new town development.
Explain also the current problems of new town.
III. Explain the eﬀects of ubiquitous input price (such as labor wages) on optimal location
of ﬁrms regarding industrial location theory (Weber problem). Use the formulas and/or
diagrams as necessary.
IV. Explain the policy/measures of urban planning or transportation planning aiming for
reduction of Green House Gas with several speciﬁc measures.
8

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