第3回

物理学演習 IIB 問題 No.3 (物理数学 II)
2014 年 10 月 13 日
1. 実数全体で定義された実関数 f (x), g(x) に対して, 内積を
∫ ∞
2
(f, g) =
dx e−x f (x)g(x)
(1)
−∞
によって定義する。
(a) φ0 (x) = a0 (a0 は定数, a0 > 0) とおき, (φ0 , φ0 ) = 1 となるように a0 を決定せよ。
(b) φ1 (x) = a1 x + b1 (a1 , b1 は定数, a1 > 0) とおき, (φ0 , φ1 ) = 0, (φ1 , φ1 ) = 1 となるよう
に a1 , b1 を決定せよ。
(c) φ2 (x) = a2 x2 + b2 x + c2 (a2 , b2 , c2 は定数, a2 > 0) とおき, (φ0 , φ2 ) = 0, (φ1 , φ2 ) = 0,
(φ2 , φ2 ) = 1 となるように a2 , b2 , c2 を決定せよ。
(d) φ0 (x), φ1 (x), φ2 (x) とエルミート多項式 H0 (x), H1 (x), H2 (x) の関係を求めよ。
2. エルミート多項式 Hn (x) は母関数を使って
2
e2tx−t =
∞
∑
1
Hn (x) tn
n!
n=0
(2)
と定義される。エルミート多項式の x = 0 における値 Hn (0) を求めよ。
3. エルミート多項式に対する公式
n
[2]
∑
(−1)ℓ n!
Hn (x) =
(2x)n−2ℓ
(n − 2ℓ)! ℓ!
ℓ=0
[ ]
を使って, H0 (x), H1 (x), H2 (x), H3 (x) を求めよ。ここで, n2 は
(3)
n
2
を超えない最大の整数を
表す。
4. エルミート多項式に対するロドリグの公式
Hn (x) = (−1)n ex
2
dn −x2
e
dxn
(4)
を使って, 漸化式
Hn+1 (x) = 2xHn (x) − 2nHn−1 (x),
d
Hn (x) = 2nHn−1 (x)
dx
(5)
(6)
を証明せよ。
5. エルミート多項式の漸化式 (5), (6) と直交性の公式
∫ ∞
√
2
dx e−x Hm (x)Hn (x) = 2n n! π δmn
(7)
−∞
を使って, 積分
∫
∞
∫
−∞
∞
I1 =
I2 =
−∞
dx e−x Hm (x) x Hn (x),
2
dx e−x Hm (x)
2
の値を求めよ。
1
d
Hn (x)
dx
(8)
6. エルミート多項式 Hn (x) を使って, 関数 un (x) を
un (x) = Nn Hn (x)e− 2 x ,
1
2
と定義する。また, 微分演算子 a
ˆとa
ˆ † を,
(
)
1
d
a
ˆ= √
+x ,
2 dx
(
Nn =
1
a
ˆ† = √
2
1
√
2n n! π
(
−
) 12
d
+x
dx
(9)
)
(10)
と定義する。
(a) un (x) が正規直交性
∫
∞
−∞
dx um (x)un (x) = δmn
(11)
を満たすことを示せ。
(b) H0 (x) = 1, H1 (x) = 2x を使って,
a
ˆu0 (x) = 0,
a
ˆ† u0 (x) = u1 (x)
(12)
が成り立つことを示せ。
(c) エルミート多項式に対する漸化式 (5), (6) を使って,
a
ˆun (x) =
√
n un−1 (x),
a
ˆ† un (x) =
√
n + 1 un+1 (x)
(n = 1, 2, 3, · · · )
(13)
が成り立つことを示せ。
(d) (12), (13) から, un (x) が
1
un (x) = √ (ˆ
a† )n u0 (x)
n!
(14)
と表せることを示せ。
(e) (14) からロドリグの公式 (4) を導け。
ヒント：任意の関数 f (x) に対して,
(
)
1 2
1 2 d
d
− x (e 2 x f (x)) = e 2 x
f (x)
dx
dx
(15)
が成り立つ。
補足：講義や後の問題で説明するように, un (x) は調和振動子のエネルギー固有状態を表す波
動関数である。a
ˆ† , a
ˆ は, (12), (13) のように n の値を ±1 だけ変化させるので, 昇降演算子（ま
たは, 生成・消滅演算子）とよばれる。
2

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